نسخة الفيديو النصية
بسط ﻥﺱ يساوي ثلاثة ﺱ زائد اثنين على سبعة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ تربيع على اثنين ناقص ﺱ.
في هذه المسألة، لدينا الدالة ﻥﺱ، وهي عبارة عن مجموع خارج قسمة مقدارين جبريين. لتبسيط هذه الدالة، علينا محاولة دمج خارج قسمة المقدارين الجبريين؛ ليصبحا كسرًا جبريًّا واحدًا. وبموجب درايتنا بجمع خارج قسمة الأعداد أو الكسور، نعلم أنه لا يمكن فعل ذلك إلا عندما يكون لدينا مقام مشترك، وهو ما يعني عادة المضاعف المشترك الأصغر للمقامين. على سبيل المثال: في حالة جمع الكسرين ثلث وربع، نستخدم المقام ١٢؛ لأن هذا هو المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة وأربعة.
بالعودة إلى المسألة الجبرية، علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين، وهما سبعة ﺱ واثنان ناقص ﺱ. بما أنهما عبارة عن دالتين خطيتين لـ ﺱ وليس بينهما أي عوامل مشتركة سوى واحد، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهما في الواقع هو حاصل ضربهما. وهو ما يساوي سبعة ﺱ مضروبًا في اثنين ناقص ﺱ. وهذا مشابه للمثال العددي الذي ضربناه. لأن المقامين ثلاثة وأربعة ليس بينهما أي عوامل مشتركة سوى واحد؛ لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر لهما هو حاصل ضربهما، وهو ما يساوي ١٢.
ما نريد فعله الآن لتبسيط ﻥﺱ هو إعادة كتابة كل كسر على صورة كسر مكافئ مقامه يساوي سبعة ﺱ مضروبًا في اثنين ناقص ﺱ. بالنسبة إلى الكسر الأول، نفعل ذلك بضرب كل من البسط والمقام في اثنين ناقص ﺱ. وبالنسبة إلى الكسر الثاني، علينا ضرب كل من البسط والمقام في سبعة ﺱ. إذن ﻥﺱ يساوي ثلاثة ﺱ زائد اثنين مضروبًا في اثنين ناقص ﺱ على سبعة ﺱ مضروبًا في اثنين ناقص ﺱ زائد ثلاثة ﺱ تربيع مضروبًا في سبعة ﺱ على سبعة ﺱ مضروبًا في اثنين ناقص ﺱ.
وبما أن لدينا الآن مقامًا متشابهًا للكسرين، يمكننا جمعهما معًا من خلال جمع البسطين. وهكذا نحصل على ثلاثة ﺱ زائد اثنين مضروبًا في اثنين ناقص ﺱ زائد ثلاثة ﺱ تربيع مضروبًا في سبعة ﺱ الكل على سبعة ﺱ مضروبًا في اثنين ناقص ﺱ. وبذلك نكون دمجنا مجموع الكسرين في كسر واحد.
الخطوة الآتية هي توزيع الأقواس في البسط. ويمكننا فعل ذلك، إذا أردنا، باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. بالنسبة إلى المجموعة الأولى من الأقواس، لدينا ستة ﺱ ناقص ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة ناقص اثنين ﺱ، وهو ما يبسط إلى سالب ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد أربعة. وبالنسبة إلى المجموعة الثانية من الأقواس، لدينا ثلاثة ﺱ تربيع مضروبًا في سبعة ﺱ، وهو ما يعطينا ٢١ﺱ تكعيب. إذن يمكن تبسيط التعبير الدال على ﻥﺱ إلى سالب ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد أربعة زائد ٢١ﺱ تكعيب على سبعة ﺱ مضروبًا في اثنين ناقص ﺱ.
يمكننا التوقف هنا، لكن من المتبع أن نكتب الحدود في البسط حسب الترتيب التنازلي لقوى أو أسس ﺱ. لذا سنبدأ بالحد ﺱ تكعيب؛ ليصبح الناتج النهائي ﻥﺱ يساوي ٢١ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد أربعة الكل على سبعة ﺱ مضروبًا في اثنين ناقص ﺱ. ولا يمكن التبسيط أكثر من ذلك؛ لأنه لا توجد أي عوامل مشتركة بين البسط والمقام لهذا الكسر الجبري.
