فيديو: إيجاد نهاية دالة كثيرة الحدود

أوجد ‪lim_(𝑥 → −5) (−9𝑥² − 6𝑥 − 9)‬‏.

٠٥:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية سالب تسعة 𝑥 تربيع ناقص ستة 𝑥 ناقص تسعة عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة.

الخطوة الأولى هي كتابة هذه النهاية مرة أخرى، ويمكننا تطبيق خاصية الفرق بين النهايات، التي تنص على أن نهاية الفرق بين دالتين تساوي الفرق بين نهايتي هاتين الدالتين. إذن بجعل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي سالب تسعة 𝑥 تربيع ناقص ستة 𝑥 والدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 تساوي تسعة، فإن نهاية سالب تسعة 𝑥 تربيع ناقص ستة 𝑥 ناقص تسعة عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة تساوي نهاية سالب تسعة 𝑥 تربيع ناقص ستة 𝑥 عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة ناقص نهاية تسعة عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة.

الآن بدلًا من وجود نهاية واحدة معقدة جدًا، لدينا نهايتان أبسط. في الواقع، يمكننا تقسيم النهاية الأولى إلى فرق بين نهايتين، بجعل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي سالب تسعة 𝑥 تربيع والدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 تساوي ستة 𝑥. وبتطبيق ذلك، يصبح لدينا نهاية سالب تسعة 𝑥 تربيع عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة ناقص نهاية ستة 𝑥 عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة ناقص نهاية تسعة عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة. وبمقارنة هذا بما بدأنا به، نكتشف أنه كان يمكننا فعل ذلك في خطوة واحدة.

نهاية مجموع أي عدد من الحدود أو الفرق بينها يساوي مجموع نهايات هذه الحدود أو الفرق بينها. يمكننا الآن الانتقال لإيجاد نهاية كل حد على حدة. بالنسبة لأول حد، نهاية سالب تسعة 𝑥 تربيع عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة، يمكن استخدام خاصية الضرب في عدد قياسي أو الضرب في عدد ثابت، التي تنص على أن نهاية عدد ثابت مضروبًا في دالة تساوي العدد الثابت مضروبًا في نهاية هذه الدالة.

وبجعل 𝑘 يساوي سالب تسعة والدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 تربيع، نحصل على نهاية سالب تسعة 𝑥 تربيع عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة تساوي سالب تسعة في نهاية 𝑥 تربيع عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة. يمكننا استخدام الخاصية نفسها بالنسبة لنهاية ستة 𝑥 عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة. فتصبح ستة في نهاية 𝑥 عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة. وأخيرًا، نكتب نهاية تسعة عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة في الأسفل.

يمكننا استخدام خاصية القوى لإعادة كتابة الحد الأول. تنص هذه الخاصية على أن نهاية دالة مرفوعة لقوة أسية تساوي نهاية الدالة الكل مرفوع لهذه القوة الأسية. بجعل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 و𝑛 تساوي اثنين، يصبح الحد الأول سالب تسعة في نهاية 𝑥 عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة الكل تربيع. ونكتب الحدين الآخرين من السطر السابق في الأسفل دون تغيير. نستطيع الآن أن نرى أن النهايات التي علينا إيجادها هي نهاية الدالة المحايدة 𝑥 عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة.

لدينا نهايتان من هذا النوع، ونهاية الدالة الثابتة تسعة عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة. وكما آمل، نحن نعرف قيم هذه النهايات. نهاية الدالة المحايدة 𝑥 عندما يقترب 𝑥 من 𝑐 تساوي 𝑐، ونهاية الدالة الثابتة 𝑘 عندما يقترب 𝑥 من 𝑐 تساوي القيمة الثابتة 𝑘. في هذه الحالة، 𝑐 يساوي سالب خمسة، إذن نهاية 𝑥 عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة تساوي سالب خمسة. إذن أول حدين هما سالب تسعة في سالب خمسة تربيع ناقص ستة في سالب خمسة.

وبما أن 𝑘 يساوي تسعة، فستصبح نهاية تسعة عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة تساوي تسعة. وبهذا نكون قد تخلصنا أخيرًا من كل النهايات، ويصبح لدينا مقدار عددي نستطيع حسابه. وقبل القيام بذلك، نلاحظ أن هذا السطر هو بالضبط ما كنتم ستحصلون عليه إذا أخذتم الدالة التي نريد إيجاد نهايتها وعوضتم فيها بنقطة النهاية سالب خمسة. نهاية هذه الدالة عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة هي قيمة الدالة عندما تحسب بالتعويض بسالب خمسة.

مجموعة الدوال التي ينطبق عليها هذا تمثل مجموعة جيدة للغاية من الدوال، وسوف تقابلونها قريبًا، إن لم تكونوا قد قابلتموها بالفعل، وهي تتضمن كل الدوال كثيرة الحدود. إذن، لإيجاد نهاية دالة كثيرة الحدود، ليس عليكم إلا التعويض بنقطة النهاية. لا ينطبق ذلك على جميع الدوال بالطبع، لكنه ينطبق بلا شك على الدوال كثيرة الحدود. عمومًا لنمض قدمًا في إيجاد الإجابة النهائية. بحساب ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على سالب 204. نهاية سالب تسعة 𝑥 تربيع ناقص ستة 𝑥 ناقص تسعة عندما يقترب 𝑥 من سالب خمسة تساوي سالب 204.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.