نسخة الفيديو النصية
𝐴𝐵𝐶 مثلث فيه 𝐴𝐵 يساوي 20 سنتيمترًا، و𝐵𝐶 يساوي 25 سنتيمترًا، و𝐶𝐴 يساوي 15 سنتيمترًا. تؤثر قوى مقاديرها 120 و150 و90 نيوتن على 𝐴𝐵 و𝐵𝐶 و𝐶𝐴 على الترتيب؛ حيث إن النظام يكافئ ازدواجًا. أوجد مقدار القوتين المتوازيتين اللتين تجعلان النظام في حالة اتزان عند التأثير عند 𝐵، 𝐶 عموديًّا على 𝐵𝐶.
دعونا نبدأ برسم شكل يمثل معطيات السؤال. لدينا المثلث 𝐴𝐵𝐶 وأطوال أضلاعه 𝐴𝐵 يساوي 20 سنتيمترًا، و𝐵𝐶 يساوي 25 سنتيمترًا، و𝐶𝐴 يساوي 15 سنتيمترًا. القوة المؤثرة على 𝐴𝐵 مقدارها 120 نيوتن. والقوة المؤثرة على 𝐵𝐶 مقدارها 150 نيوتن. والقوة المؤثرة على 𝐶𝐴 مقدارها 90 نيوتن. لدينا قوتان متوازيتان، 𝐹 واحد و𝐹 اثنان، تؤثران من النقطتين 𝐵 و𝐶، ومتعامدتان على 𝐵𝐶. والقوى الأخرى المؤثرة على المثلث تكافئ ازدواجًا. لكي يصل النظام إلى الاتزان، يجب أن تكون القوتان المؤثرتان عند 𝐵 و𝐶 مكافئتين أيضًا لازدواج، أي إن القوتين لهما المقدار نفسه وفي اتجاهين متضادين. إذن 𝐹 واحد تساوي 𝐹 اثنين. دعونا نشر إلى هذا المقدار بـ 𝐹 فقط.
لإيجاد المقدار 𝐹، علينا إيجاد مقدار الازدواج الناتج عن القوى الأخرى المؤثرة على المثلث. لفعل ذلك يمكننا حساب عزوم جميع القوى الثلاث حول نقطة من اختيارنا ثم جمعها معًا. دعونا نحسب عزوم القوى الثلاث حول النقطة 𝐴، علمًا بأن العزوم عكس اتجاه دوران عقارب الساعة تكون موجبة.
لعلنا نتذكر أن مقدار العزم 𝑀 للقوة 𝐹 المؤثرة من النقطة 𝑝 يساوي مقدار القوة 𝐹 مضروبًا في المسافة العمودية 𝑑 بين نقطة محور العزم 𝑜 وخط عمل 𝐹. خطا عمل القوتين اللتين مقداراهما 90 نيوتن و120 نيوتن ويمران بالنقطة 𝐴. إذن المسافتان العموديتان من 𝐴 تساويان صفرًا. ومن ثم فإن العزوم حول 𝐴 تساوي صفرًا أيضًا. القوة الوحيدة التي لها عزم لا يساوي صفرًا حول 𝐴 هي القوة التي مقدارها 150 نيوتن. لذا علينا إيجاد المسافة العمودية من خط عمل هذه القوة إلى النقطة 𝐴. وهذا يكافئ إيجاد ارتفاع المثلث باعتبار أن القطعة المستقيمة 𝐵𝐶 تمثل قاعدة المثلث.
لعلنا نتذكر أن ارتفاع أي مثلث مختلف الأضلاع، أي مثلث له ثلاثة أضلاع مختلفة الأطوال، يعطى بالصيغة: اثنان على 𝑏 مضروبًا في الجذر التربيعي لـ 𝑠 في 𝑠 ناقص 𝑎 في 𝑠 ناقص 𝑏 في 𝑠 ناقص 𝑐؛ حيث 𝑠 نصف محيط المثلث. 𝑏 طول قاعدة المثلث. 𝑎 و𝑐 هما طولا الضلعين الآخرين للمثلث. نصف المحيط 𝑠، يساوي نصف محيط المثلث، وهو ما يساوي 15 زائد 20 زائد 25 على اثنين، وهو ما يعطينا 30 سنتيمترًا. 𝑏 هو طول القاعدة 𝐵𝐶، ويساوي 25 سنتيمترًا. 𝑎 و𝑐 هما طولا الضلعين الآخرين، ويساويان 20 سنتيمترًا و15 سنتيمترًا.
إذن ارتفاع المثلث، الذي يكافئ المسافة العمودية 𝑑 بين نقطة محور العزم 𝐴 وخط عمل القوة التي مقدارها 150 نيوتن، يساوي اثنين على 25 مضروبًا في الجذر التربيعي لـ 30 في 30 ناقص 20 في 30 ناقص 25 في 30 ناقص 15. هذا يساوي 12 سنتيمترًا. ومن ثم مقدار العزم 𝑀 يساوي مقدار القوة، أي 150، مضروبًا في هذه المسافة العمودية، أي 12، وهو ما يساوي 1800 نيوتن سنتيمتر. إذن مقدار العزم المحصل للنظام يساوي 1800 نيوتن سنتيمتر. ومن ثم لا بد أن يكون مقدار ازدواج القوتين المتوازيتين عند النقطتين 𝐴 و𝐵 يساوي 1800 نيوتن سنتيمتر.
لعلنا نتذكر أن مقدار الازدواج الذي يؤثر عند النقطتين 𝐵 و𝐶؛ حيث يكون كل من خطي عمل القوتين مع القطعة المستقيمة 𝐵𝐶 زاوية قياسها 𝜃، يساوي مقدار إحدى القوتين 𝐹، مضروبًا في طول القطعة المستقيمة 𝐵𝐶 مضروبًا في sin 𝜃. في هذه الحالة القوتان متعامدتان على القطعة المستقيمة 𝐵𝐶. إذن قياس الزاوية 𝜃 يساوي 90 درجة؛ ومن ثم فإن sin 𝜃 يساوي واحدًا. يمكننا إذن تبسيط ذلك إلى 𝐹 مضروبًا في طول القطعة المستقيمة 𝐵𝐶. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة؛ لتصبح 𝐹 يساوي مقدار الازدواج 𝑀𝐵𝐶، على طول القطعة المستقيمة 𝐵𝐶. هذا يساوي 1800 على 25. ومن ثم فإن مقدار كل من القوتين المتوازيتين اللتين تجعلان النظام في حالة اتزان هو72 نيوتن.
