فيديو السؤال: إيجاد العوامل المرافقة للمصفوفة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة ﺃ تساوي سبعة، سالب خمسة، سالب ثمانية، سالب ثلاثة، سالب سبعة، سالب اثنين، صفرًا، سالب أربعة، سالب ثمانية.

في مسألة كهذه، نريد فيها إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة، ما ينبغي علينا فعله أولًا هو إيجاد المحددات الصغرى المناظرة لكل عنصر من عناصر هذه المصفوفة. حسنًا، أولًا، سنذكر أنفسنا بما علينا فعله إذا أردنا إيجاد المحدد الأصغر المناظر لعنصر ما. لقد رسمنا مصفوفة أخرى هنا؛ وهي: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، ﻫ، ﻭ، ﺯ، ﺣ، ﻁ. والآن إذا أردنا إيجاد المحدد الأصغر المناظر للعنصر ﺃ، فسنحذف العمود والصف اللذين يقع فيهما العنصر ﺃ. بعد ذلك سنجد أن المحدد الأصغر المناظر له هو محدد العناصر الأربعة المتبقية. إذن، فهو محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: ﻫ، ﻭ، ﺣ، ﻁ. عظيم. هكذا، ذكرنا أنفسنا بالمحدد الأصغر المناظر لأي عنصر بمصفوفة. والآن، دعونا نوجد المحددات الصغرى المناظرة لعناصر المصفوفة التي لدينا.

إذا كانت لدينا مصفوفة تتكون من قيم المحددات الصغرى المناظرة لعناصر المصفوفة ﺃ، وهي التي أسميتها ﺃﻡ، فإنها ستساوي المحدد: سالب سبعة، سالب اثنين، سالب أربعة، سالب ثمانية. ثم لدينا سالب ثلاثة، سالب اثنين، صفر، سالب ثمانية؛ سالب ثلاثة، سالب سبعة، صفر، سالب أربعة؛ سالب خمسة، سالب ثمانية، سالب أربعة، سالب ثمانية؛ سبعة، سالب ثمانية، صفر، سالب ثمانية؛ سبعة، سالب خمسة، صفر، سالب أربعة؛ سالب خمسة، سالب ثمانية، سالب سبعة، سالب اثنين؛ سبعة، سالب ثمانية، سالب ثلاثة، سالب اثنين؛ وأخيرًا المحدد سبعة، سالب خمسة، سالب ثلاثة، سالب سبعة.

حسنًا، قبل إيجاد قيم المحددات، علينا أولًا تذكر قاعدة الإشارة. وتنص قاعدة الإشارة التي تساعدنا هنا على أن لدينا عناصر، وهذه هي الإشارات التي ستأخذها هذه العناصر؛ موجب، وسالب، وموجب؛ سالب، وموجب، وسالب؛ ثم موجب، وسالب، وموجب. إذن ما يمكننا فعله هو إضافتها أمام العناصر المختلفة المناظرة لها التي لدينا في مصفوفة المحددات الصغرى. لكن إذا وضعنا هذه الإشارات أمام العناصر المختلفة المناظرة في المصفوفة، فسنجد أننا قد توصلنا الآن إلى مصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة ﺃ. إذن كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة كل محدد من المحددات الصغرى.

علينا الآن تذكير أنفسنا بكيفية إيجاد قيم محددات المحددات الصغرى، وإذا ألقينا نظرة على الجانب الأيسر، فسنجد أن لدينا المحدد الأصغر ﻫ، ﻭ، ﺣ، ﻁ. وقيمته تساوي ﻫﻁ؛ حيث ﻫ مضروب في ﻁ، ناقص ﻭ مضروب في ﺣ. إذن لكي نعطي مثالًا على ذلك، سنلقي نظرة على العنصر الأول. لدينا سالب سبعة مضروبًا في سالب ثمانية ناقص سالب اثنين مضروبًا في سالب أربعة، وهو ما يساوي ٥٦ ناقص ثمانية، وهو ما يساوي ٤٨. وسيظل موجبًا؛ لأننا نلاحظ أنه باتباع قاعدة الإشارة، ستكون قيمة العنصر الأول موجبة. بعد ذلك، سنحسب العنصر التالي كمثال آخر قبل كتابة قيم باقي العناصر.

في العنصر التالي، سيكون لدينا سالب ثلاثة مضروبًا في سالب ثمانية ناقص سالب اثنين مضروبًا في صفر، وهو ما يعطينا ٢٤ ناقص صفر، وهو ما يساوي ٢٤. حسنًا، هل هذا هو العنصر التالي؟ في الحقيقة لا، وهنا تحديدًا علينا التأكد من عدم ارتكاب أي أخطاء في العمليات الحسابية التي نجريها؛ لأننا إذا ألقينا نظرة على قاعدة الإشارة، فسنجد أن قيمة العنصر الثاني يجب أن تكون سالبة. إذن، القيمة التي نريدها هي سالب ٢٤. بعد ذلك، يمكننا تطبيق هذه الطريقة على بقية العناصر. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على مصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة ﺃ التي تساوي سبعة، سالب خمسة، سالب ثمانية، سالب ثلاثة، سالب سبعة، سالب اثنين، صفرًا، سالب أربعة، سالب ثمانية. ومصفوفة العوامل المرافقة هذه ستكون المصفوفة: ٤٨ ، سالب ٢٤ ، ١٢ ، سالب ثمانية، سالب ٥٦ ، ٢٨ ، سالب ٤٦ ، ٣٨ ، وسالب ٦٤.