فيديو السؤال: تكامل حاصل ضرب الدوال المثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي الاختيارات الآتية هو تكامل قا ﺱ مضروبًا في ظا ﺱ؟ هل هو الخيار (أ) قا ﺱ زائد ﺙ؟ أم الخيار (ب) سالب قتا ﺱ زائد ﺙ. أم الخيار (ج) سالب قا ﺱ زائد ﺙ. هل هو الخيار (د) قتا ﺱ زائد ﺙ؟ أم أنه الخيار (هـ) ظتا ﺱ زائد ﺙ؟

في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد أي من الخيارات الخمسة المعطاة هو تكامل حاصل ضرب دالتين مثلثيتين، قا ﺱ مضروبًا في ظا ﺱ. وأول ما علينا ملاحظته هو أن الدوال معطاة بدلالة المتغير ﺱ. لذا، علينا إيجاد تكامل ذلك بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا حل هذا السؤال بعدة طرق مختلفة. على سبيل المثال، بما أننا نعلم أن التكامل يعطينا المشتقة العكسية العامة للدالة، فيمكننا اشتقاق كل خيار من الخيارات الخمسة المعطاة لتحديد أيها هو المشتقة العكسية لـ قا ﺱ مضروبًا في ظا ﺱ. ويمكننا اشتقاق كل خيار من الخيارات الخمسة المعطاة بتذكر ثلاث من نتائج المشتقات التي تتضمن دوال مثلثية.

نعلم أن مشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي قا ﺱ في ظا ﺱ. ومشتقة قتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي سالب قتا ﺱ في ظتا ﺱ. ومشتقة ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي سالب قتا تربيع ﺱ. إذن، هذا يسمح لنا باشتقاق جميع الخيارات الخمسة المعطاة. ويسمح لنا هذا على وجه التحديد بمعرفة أن قا ﺱ هو مشتقة عكسية لـ قا ﺱ في ظا ﺱ. بكتابة ذلك باستخدام التكامل، هذا يعني أن تكامل قا ﺱ في ظا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي قا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وهذه طريقة صحيحة تمامًا لحل هذا السؤال.

ومع ذلك، فإن هذه الطريقة تعتمد على أحد أمرين. فإما أن تكون لدينا الخيارات لاشتقاقها أو أن علينا تذكر قاعدة الاشتقاق المناظرة. هاتان طريقتان صحيحتان للإجابة عن السؤال. ولكن، قد يكون من المفيد فعل ذلك مباشرة. إذن، لنحاول حساب تكامل قا ﺱ مضروبًا في ظا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام خواص التكامل ونتائجه. ولفعل ذلك، سنبدأ بإعادة كتابة الدالة التي سيجرى عليها التكامل باستخدام حقيقة أن قا ﺱ يساوي واحدًا على جتا ﺱ و ظا ﺱ يساوي جا ﺱ مقسومًا على جتا ﺱ. وهذا يعطينا تكامل واحد على جتا ﺱ مضروبًا في جا ﺱ مقسومًا على جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا بعد ذلك تبسيط الدالة التي سيجرى عليها التكامل لنحصل على تكامل جا ﺱ مقسومًا على جتا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

وحساب هذا التكامل ليس سهلًا. لذا، سنبسط هذا التكامل باستخدام التعويض. سنستخدم التعويض ﻉ يساوي جتا ﺱ. لعلنا نتذكر أنه عند إجراء التكامل باستخدام التعويض، فعلينا إيجاد مقدار للمعامل التفاضلي. لفعل ذلك، علينا اشتقاق ﻉ بالنسبة إلى ﺱ. نحن نعلم أن مشتقة جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب جا ﺱ. وهذا يعطينا ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سالب جا ﺱ. والآن، نحن نعلم أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا. لكن، يمكننا التعامل معه باعتباره كسرًا عندما نستخدم التكامل بالتعويض. فهذا سيمكننا من إعادة صياغة المعامل التفاضلي. ونجد أن ﺩﻉ يساوي سالب جا ﺱ ﺩﺱ.

نريد الآن التعويض باستخدام ﻉ لإعادة كتابة التكامل. أولًا: في مقام التكامل، سنعوض بـ ﻉ عن جتا ﺱ. وهذا يعطينا مقامًا جديدًا للدالة التي سيجرى عليها التكامل، وهو ﻉ تربيع. ثانيًا: نريد استخدام المقدار الذي استنتجناه من المعامل التفاضلي. ولكن، يمكننا ملاحظة أن سالب جا ﺱ ﺩﺱ لا يظهر في التكامل. ولدينا بدلًا من ذلك جا ﺱ ﺩﺱ. لذا، علينا إعادة كتابة التكامل بضرب الدالة التي سيجرى عليها التكامل في سالب واحد، وضرب التكامل كله في سالب واحد. يسمح لنا ذلك بالتعويض عن سالب جا ﺱ ﺩﺱ بـ ﺩﻉ. وهذا يعطينا سالب تكامل واحد على ﻉ تربيع بالنسبة إلى ﻉ. والآن، يمكننا حساب هذا التكامل باستخدام قاعدة القوة للتكامل.

ولعلنا نتذكر أن قاعدة القوة للتكامل تخبرنا أنه بالنسبة لأي ثابت حقيقي ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﻉ أس ﻥ بالنسبة إلى ﻉ يساوي ﻉ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. نضيف واحدًا إلى أس ﻉ، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. لتطبيق قاعدة القوة للتكامل، علينا استخدام قوانين الأسس لإعادة كتابة الدالة التي سيجرى عليها التكامل على صورة ﻉ أس سالب اثنين. علينا أن نضيف واحدًا إلى أس ﻉ ونقسم على الأس الجديد. وهذا يعطينا ﻉ أس سالب اثنين زائد واحد على سالب اثنين زائد واحد.

وتذكر أنه علينا ضرب هذه القيمة في سالب واحد وﺙ هو ثابت. وعليه، فإن ضرب هذه القيمة في سالب واحد لن يغير حقيقة أنه ثابت. لذا، يمكننا ببساطة إضافة ﺙ في نهاية هذا المقدار. إذن، لدينا سالب واحد في ﻉ أس سالب اثنين زائد واحد على سالب اثنين زائد واحد زائد ﺙ. ويمكننا تبسيط هذا المقدار بملاحظة أن سالب اثنين زائد واحد يساوي سالب واحد. وهذا يعطينا عاملًا مشتركًا يساوي سالب واحد في البسط والمقام. ومنه، يصبح لدينا ﻉ أس سالب واحد زائد ﺙ. ونحن نعرف أن ﻉ أس سالب واحد يساوي واحدًا على ﻉ. إذن، لدينا واحد على ﻉ زائد ﺙ.

وأخيرًا، بما أن التكامل الأصلي معطى بدلالة ﺱ، فعلينا أن نكتب الإجابة بدلالة ﺱ. ويمكننا فعل ذلك باستخدام التعويض. أي أن ﻉ يساوي جتا ﺱ. وهذا يعطينا واحدًا على جتا ﺱ زائد ﺙ. لكن تذكر أن واحدًا على جتا ﺱ يساوي قا ﺱ. لذا، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة قا ﺱ زائد ﺙ، وهذه هي الإجابة النهائية.

ومن ثم، استطعنا توضيح عدة طرق مختلفة لتحديد تكامل قا ﺱ في ظا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وفي جميع هذه الحالات، استطعنا إثبات أن الناتج هذا يساوي قا ﺱ زائد ﺙ، وهو المعطى في الخيار (أ).