فيديو السؤال: إيجاد مشتقة دالة تتضمن دوال مثلثية وأسية باستخدام قاعدة الضرب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مشتقة ﺩﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ في قا ﺱ.

يطلب منا السؤال إيجاد مشتقة الدالة ﺩﺱ، وهي عبارة عن حاصل ضرب دالتين. لاشتقاق حاصل ضرب دالتين، نتذكر قاعدة الضرب للاشتقاق التي تنص على أنه إذا كان ﻉ وﻕ دالتين لـ ﺱ، فإن مشتقة ﻉ في ﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻉ شرطة ﻕ زائد ﻉﻕ شرطة. إذن، لاشتقاق الدالة ﺩﺱ، سنجعل ﻉ يساوي ﻫ أس ﺱ وﻕ يساوي قا ﺱ. ولإيجاد الدالة ﻉ شرطة، علينا اشتقاق ﻫ أس ﺱ. نتذكر هنا أن مشتقة ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي نفسها. إذن، ﻉ شرطة يساوي ﻫ أس ﺱ.

لإيجاد ﻕ شرطة، علينا اشتقاق قا ﺱ. نتذكر هنا قاعدة قياسية لمشتقات الدوال المثلثية. وهي تنص على أن مشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي قا ﺱ في ظا ﺱ. يمكنك إثبات ذلك بكتابة قا ﺱ على الصورة واحد مقسوم على جتا ﺱ، ثم استخدام قاعدة القسمة للاشتقاق. لكن من المفيد أن تحفظ ذلك في ذاكرتك. باستخدام هذه القاعدة، نجد أن ﻕ شرطة يساوي قا ﺱ في ظا ﺱ.

نحن الآن مستعدون لتطبيق قاعدة الضرب لإيجاد مشتقة ﺩﺱ. إنها تساوي ﻉ شرطة ﻕ زائد ﻉﻕ شرطة. وبالتعويض بالدوال التي أوجدناها لـ ﻉ وﻕ وﻉ شرطة وﻕ شرطة، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ في قا ﺱ زائد ﻫ أس ﺱ في قا ﺱ في ظا ﺱ. ويمكن أن نترك الإجابة بهذا الشكل. لكن يمكننا التبسيط من خلال ملاحظة أن الحدين يشتركان في العامل ﻫ أس ﺱ، والعامل قا ﺱ.

إذن، نخرج العامل ﻫ أس ﺱ في قا ﺱ. فنجد بعد ذلك أنه علينا ضرب هذا في واحد زائد ظا ﺱ. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. وعليه، إذا كان ﺩﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ في قا ﺱ، فإن مشتقة ﺩﺱ، أي ﺩ شرطة ﺱ، تساوي ﻫ أس ﺱ في قا ﺱ مضروبًا في واحد زائد ظا ﺱ.