فيديو السؤال: إيجاد المعكوس الضربي لأعداد حقيقية تتضمن جذورًا عن طريق إنطاق المقام الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد المعكوس الضربي للمقدار: جذر ستة زائد جذر سبعة في أبسط صورة.

بداية، علينا معرفة بعض الأمور عن المعكوس الضربي. يمكننا القول إن حاصل ضرب عدد في معكوسه الضربي يساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا القول أيضًا إن المعكوس الضربي لعدد لا بد أن يكون مقلوبه. وبالتالي، فإن م.ض. وهو الاختصار الذي أطلقه على المعكوس الضربي، لجذر ستة زائد جذر سبعة لا بد أن يساوي واحدًا على جذر ستة زائد جذر سبعة. وذلك لأن واحدًا على جذر ستة زائد جذر سبعة هو مقلوب جذر ستة زائد جذر سبعة. وكذلك، إذا ضربناهما معًا، فسنحصل على جذر ستة زائد جذر سبعة على جذر ستة زائد جذر سبعة. وهذا يساوي واحدًا، وهو ما نريده. إذن، فقد وجدنا الآن المعكوس الضربي لجذر ستة زائد جذر سبعة. وبذلك، نكون قد انتهينا من الجزء الأول من السؤال.

لكن هل انتهينا تمامًا؟ لا، علينا كتابة الإجابة في أبسط صورة. ولنفعل ذلك، لا بد من إنطاق المقام؛ لأننا لا نريد جذورًا صماء بالأسفل. ولإنطاق المقام، علينا ضرب الكسر، واحد على جذر ستة زائد جذر سبعة، في مرافق المقام. ومرافق المقدار هو الذي فيه نغير الإشارة الموجودة بين الحدين.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا ﺱ تربيع ناقص ثلاثة، فإن المرافق سيكون ﺱ تربيع زائد ثلاثة. لدينا في المسألة هنا جذر ستة زائد جذر سبعة. إذن، المرافق هو جذر ستة ناقص جذر سبعة. وعليه، يصبح لدينا واحد على جذر ستة زائد جذر سبعة مضروبًا في جذر ستة ناقص جذر سبعة على جذر ستة ناقص جذر سبعة. وبالتالي، نضرب كلًا من البسط والمقام.

وذلك لأنه أيًا كان ما ستفعله بأحدهما، فعليك فعله بالآخر. إذن، سيكون لدينا جذر ستة ناقص جذر سبعة في البسط؛ لأن واحدًا في جذر ستة ناقص جذر سبعة يساوي جذر ستة ناقص جذر سبعة. ولإيجاد قيمة المقدار الذي في المقام، علينا فك الأقواس. نضرب جذر ستة زائد جذر سبعة في جذر ستة ناقص جذر سبعة، ونحصل على الحد الأول ستة. وذلك لأننا نستخدم إحدى قواعد الجذور الصماء. وهي تنص على أنه إذا كان لدينا جذر ﺃ مضروبًا في جذر ﺃ، فسيكون الناتج ﺃ فقط. وذلك لأنه إذا ضربنا جذر ستة، على سبيل المثال، في جذر ستة، فسنحصل على جذر ٣٦. والجذر التربيعي لـ ٣٦ هو ستة، ومن ثم نحصل على هذا الناتج.

ثم لدينا جذر ستة مضروبًا في سالب جذر سبعة. فنحصل على سالب جذر ستة جذر سبعة. ثم يصبح لدينا زائد جذر ستة جذر سبعة. وذلك لأن لدينا موجب جذر سبعة مضروبًا في موجب جذر ستة. وفي النهاية، حصلنا على سالب سبعة. وذلك لأنه كان لدينا موجب جذر سبعة مضروبًا في سالب جذر سبعة. مرة أخرى، جذر سبعة مضروبًا في جذر سبعة يعطينا سبعة. ونحصل على سالب لأننا ضربنا موجب في سالب، ما يعطينا ناتجًا سالبًا. حينئذ، يمكننا حذف جذر ستة جذر سبعة؛ لأن لدينا سالب جذر ستة جذر سبعة زائد جذر ستة جذر سبعة، وهو ما يساوي صفرًا. يتبقى لدينا إذن ستة ناقص سبعة، وهو ما يساوي سالب واحد.

ولهذا يطلق على ذلك إنطاق المقام؛ لأنه كما ترى، لم تعد هناك جذور صماء في المقام. لدينا فقط سالب واحد. وعليه، أصبح لدينا الآن جذر ستة ناقص جذر سبعة على سالب واحد. ولأننا نقسم على سالب واحد، كل ما علينا فعله هو تغيير إشارتي الحدين في المقدار الذي في البسط. إذن، يمكننا القول إن المعكوس الضربي لجذر ستة زائد جذر سبعة في أبسط صورة هو جذر سبعة ناقص جذر ستة.