نسخة الفيديو النصية
يوضح التمثيل البياني منحنى معادلته ﺹ يساوي ﺩﺱ. ما مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا؟
في البداية عند النظر إلى المنحنى، نلاحظ أنه يتخذ شكل القطع المكافئ. القطع المكافئ هو الشكل العام لجميع التمثيلات البيانية الخاصة بالدوال التربيعية. القطع المكافئ أيضًا منحنى متماثل أملس يكون مفتوحًا لأعلى، أو لأسفل كما في هذا المنحنى. يعتمد اتجاه القطع المكافئ على المعامل الرئيسي للمعادلة التربيعية التي يمثلها. تتضمن الخواص العامة للقطع المكافئ محور تماثله، ورأسه، بالإضافة إلى الجزء المقطوع من المحور ﺹ، والأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ. دعونا نفرغ بعض المساحة لاسترجاع كل خاصية من هذه الخواص. لكي يكون المنحنى قطعًا مكافئًا، يجب أن يكون متماثلًا تماثلًا تامًّا حول خط رأسي يسمى محور التماثل. محور التماثل للمنحنى الموضح هو الخط الرأسي الممثل بالمعادلة ﺱ يساوي صفرًا، أو بعبارة أخرى المحور ﺹ.
الخاصية الثانية من خواص القطع المكافئ التي يمكن تحديدها هي رأسه. يمثل رأس القطع المكافئ نقطة التحول الواقعة على محور التماثل. رأس منحنى الدالة التربيعية يكون إما نقطة القيمة الصغرى أو نقطة القيمة العظمى للمنحنى، وذلك بناء على إذا ما كان القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى أم لأسفل. في ضوء هذا التعريف، نلاحظ أن رأس القطع المكافئ المعطى يقع عند النقطة صفر، أربعة. الجزء المقطوع من المحور ﺹ لأي دالة هو قيمة ﺹ عند ﺱ يساوي صفرًا. وبما أن محور التماثل هنا تمثله المعادلة ﺱ يساوي صفرًا، فإن قيمة ﺹ للنقطة التي يقع عندها الرأس ستمثل الجزء المقطوع من المحور ﺹ.
الخاصية العامة الأخيرة للقطع المكافئ هي الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ، وهي قيم ﺱ عند ﺹ يساوي صفرًا. قد لا يكون هناك أجزاء مقطوعة من المحور ﺱ، أو قد يكون هناك جزء مقطوع أو جزآن مقطوعان من المحور ﺱ. نتذكر أن المعادلة ﺹ يساوي صفرًا هي المحور ﺱ والمعادلة ﺱ يساوي صفرًا هي المحور ﺹ. هذا يعني أنه يمكننا التفكير في الجزء المقطوع من المحور ﺹ على أنه النقطة التي يتقاطع عندها المنحنى مع المحور ﺹ، وأن الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ هي النقاط التي يتقاطع عندها المنحنى مع المحور ﺱ. كما هو موضح في النقطتين ﺱ الممثلتين باللون الوردي، فإن المنحنى يتقاطع مع المحور ﺱ عند نقطتين مختلفتين هما سالب اثنين، صفر، واثنان، صفر. يمثل إحداثيا النقطتين هذين نقطتي التقاطع مع المحور ﺱ للدالة التربيعية قيد النظر.
علمنا من المعطيات أن معادلة المنحنى هي ﺹ يساوي ﺩﺱ. ومطلوب منا إيجاد مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا. بعبارة أخرى علينا إيجاد مجموعة الحل عند ﺹ يساوي صفرًا. مما لا يدعو للدهشة أن تكون مجموعة الحل مرتبطة بالأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ؛ لأنها تمثل النقاط التي تكون عندها قيمة ﺹ للدالة تساوي صفرًا.
سنفرغ الآن بعض المساحة لاسترجاع تعريف مجموعة الحل. نتذكر أن مجموعة الحل ﻡ.ﺡ. للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ هي مجموعة جميع قيم ﺱ التي تجعل ﺩﺱ تساوي صفرًا. بعبارة أخرى، هذه القيم تمثل قيم ﺱ التي يتقاطع عندها المنحنى مع المحور ﺱ. وهذه هي الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ. يطلق على قيم ﺱ هذه الجذور أو الأصفار أو حلول الدالة ﺩﺱ. ثمة ثلاثة احتمالات مختلفة للقيم التي يمكن أن تتضمنها مجموعة الحل.
سنفرغ بعض المساحة وسنسترجع الحالات الممكنة الثلاث. الناتج الممكن الأول هو وجود جذرين حقيقيين للدالة، وذلك عند ﺱ يساوي ﺃ واحد وﺱ يساوي ﺃ اثنين، حيث ﺃ واحد لا يساوي ﺃ اثنين. في هذه الحالة، تتكون مجموعة الحل ﻡ.ﺡ. من عنصرين هما ﺃ واحد وﺃ اثنين. الناتج الممكن الثاني هو وجود جذر واحد حقيقي للدالة، وذلك عند ﺱ يساوي ﺃ واحد. في هذه الحالة، تتضمن مجموعة الحل عنصرًا واحدًا هو ﺃ واحد. أخيرًا قد لا يكون للدالة أي جذور حقيقية. في هذه الحالة نقول إن ﻡ.ﺡ. تساوي المجموعة الخالية.
عندما يكون لدينا منحنى الدالة ﺩﺱ، يصبح من السهل للغاية تحديد أي النواتج الممكنة الثلاثة يمثل الناتج الصحيح. مجموعة الحل المكونة من عنصرين تناظر قطعًا مكافئًا يتقاطع مع المحور ﺱ مرتين. مجموعة الحل المكونة من عنصر واحد تناظر قطعًا مكافئًا يتقاطع مع المحور ﺱ عند نقطة واحدة. في هذه الحالة الخاصة، نقطة التقاطع مع المحور ﺱ تقع عند نفس موضع رأس القطع المكافئ، وتكون إما نقطة القيمة الصغرى أو نقطة القيمة العظمى لهذا المنحنى. مجموعة الحل التي لا تحتوي على أي عناصر تناظر قطعًا مكافئًا يقع إما أعلى المحور ﺱ أو أسفله، ولكن لا يتقاطع معه مطلقًا.
نستنتج أن الدالة قيد النظر لها جذران حقيقيان؛ لأن القطع المكافئ يتقاطع مع المحور ﺱ عند نقطتين. وكما حددنا سابقًا، عندما تكون ﺩﺱ تساوي صفرًا، فإن ذلك يعني أن ﺹ يساوي صفرًا، وهذا يتحقق عند موضعين. قيمتا ﺱ لهاتين النقطتين الإحداثيتين تمثلان عنصرا مجموعة الحل. في الختام تشتمل مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا على الجذرين الحقيقيين للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ، كما هو موضح بالمنحنى المعطى. وهذان الجذران الحقيقيان هما سالب اثنين وموجب اثنين. ومن ثم هذان الجذران الحقيقيان هما عنصرا مجموعة الحل.
