نسخة الفيديو النصية
إذا سحب قضيب معدني أسطواني مساحة مقطعه ثلاثة سنتيمترات مربعة ومقاومته 10 أوم بانتظام حتى أصبحت مساحة مقطعه 1.5 سنتيمتر مربع، فماذا تصبح مقاومته؟
في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد مقاومة قضيب معدني بعد انخفاض مساحة مقطعه بانتظام عن طريق سحبه. يمكننا البدء برسم شكل للقضيب كما هو في البداية. نعلم أنه أسطواني الشكل. أخبرنا السؤال أيضًا أن مساحة مقطع القضيب قبل سحبه تساوي ثلاثة سنتيمترات مربعة. يمكننا أن نسمي هذه المساحة 𝐴 واحدًا. يوجد أيضًا طول للقضيب لم يخبرنا به السؤال. دعونا نسمه 𝑙 واحدًا. وأخيرًا: أخبرنا السؤال بمقاومة القضيب قبل سحبه، وهي 10 أوم. دعونا نسمها 𝑅 واحدًا.
يخبرنا السؤال بعد ذلك بأن القضيب قد سحب بانتظام حتى تغيرت مساحة مقطعه. وهذا يعني أن القضيب قد سحب بعناية من كلا طرفيه بدون حدوث أي تشوه أو انحناء في مقطعه. بعبارة أخرى: لا يزال المقطع دائريًّا، ولا يزال القضيب مستقيمًا على امتداد طوله. لكن مساحة المقطع الجديدة أصغر من مساحة المقطع الأولى. دعونا نسمها 𝐴 اثنين. أخبرنا السؤال أن 𝐴 اثنين تساوي 1.5 سنتيمتر مربع.
والآن إذا سحبنا القضيب، فإننا نقلل مساحة مقطعه، ولكن طوله سيزداد. وسيصبح أطول بكثير. يمكننا حساب طول القضيب الجديد. ويمكننا فعل هذا لأنه على الرغم من أن القضيب قد سحب، فإن حجمه ثابت. فكمية المعدن المصنوع منه القضيب لم تتغير؛ لأننا لم نقطع منه شيئًا، ولم نضف إليه شيئًا.
إذن يمكننا القول: إن حجم القضيب قبل السحب، 𝑉 واحد، يجب أن يكون مساويًا لحجم القضيب بعد السحب، 𝑉 اثنين. إن حجم قضيب أسطواني كهذا، 𝑉، يساوي مساحة مقطعه، 𝐴، مضروبة في طوله، 𝑙. إذن 𝑉 واحد يساوي 𝐴 واحدًا في 𝑙 واحد، و𝑉 اثنان يساوي 𝐴 اثنين في 𝑙 اثنين. دعونا نتذكر أن هاتين القيمتين متساويتان. إذن يمكننا القول: إن 𝐴 واحدًا 𝑙 واحد يساوي 𝐴 اثنين 𝑙 اثنين.
يمكننا الآن إعادة ترتيب ذلك ليصبح لدينا 𝑙 اثنان يساوي 𝐴 واحدًا على 𝐴 اثنين، الكل مضروب في 𝑙 واحد. بالتعويض بقيمتي مساحتي المقطع الابتدائية والنهائية، نجد أن 𝑙 اثنين يساوي ثلاثة سنتيمترات مربعة مقسومًا على 1.5 سنتيمتر مربع، الكل مضروب في 𝑙 واحد. وبما أن وحدتي السنتيمتر المربع تحذفان معًا، نجد أن 𝑙 اثنين يساوي ضعف 𝑙 واحد. وهذا يعني أن عملية السحب قد قللت مساحة مقطع السلك إلى النصف، ولكنها ضاعفت طوله.
حسنًا، كيف يمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد المقاومة الجديدة للسلك؟ يمكننا أن نتذكر أن المادة المصنوع منها السلك لها خاصية تعرف باسم المقاومة النوعية. المقاومة النوعية، 𝜌، لمادة تساوي المقاومة، 𝑅، لقطعة من تلك المادة مضروبة في مساحة مقطع تلك القطعة، 𝐴، مقسومة على طولها، 𝑙. يمكننا تطبيق هذا على السلك قبل سحبه وبعده. تجدر الإشارة إلى أن المقاومة النوعية هي خاصية للمادة المصنوع منها السلك؛ ولذلك يجب أن تكون قيمتها ثابتة قبل سحب هذه المادة وبعده. يرجع هذا إلى أن عملية السحب لا تحول المعدن المصنوع منه السلك إلى مادة أخرى. بعبارة أخرى: 𝜌 واحد تساوي 𝜌 اثنين.
دعونا الآن نستخدم هذه المعادلة لإيجاد قيمتي المقاومة النوعية للسلك قبل سحبه وبعده. 𝜌 واحد، المقاومة النوعية قبل السحب، تساوي المقاومة قبل السحب، 𝑅 واحدًا، مضروبة في مساحة المقطع، 𝐴 واحد، مقسومة على الطول، 𝑙 واحد. وبالمثل، 𝜌 اثنان تساوي 𝑅 اثنين 𝐴 اثنين على 𝑙 اثنين. نعلم أن هاتين الكميتين يجب أن تكونا متساويتين. إذن 𝑅 واحد 𝐴 واحد على 𝑙 واحد تساوي 𝑅 اثنين 𝐴 اثنين على 𝑙 اثنين.
وأخيرًا: يمكننا التعويض بجميع الكميات المعلومة لدينا. نعلم أن المقاومة قبل السحب، 𝑅 واحدًا، تساوي 10 أوم. ونعلم أيضًا قيمتي المساحتين قبل السحب وبعده. وأخيرًا: على الرغم من أننا لا نعلم طول السلك قبل السحب ولا بعده، فإننا نعلم أن 𝑙 اثنين يساوي اثنين 𝑙 واحد. يمكننا أن نعوض بذلك، ثم نضرب طرفي المعادلة في 𝑙 واحد؛ بحيث يحذف من الطرفين. بعبارة أخرى: لا يهم إن عرفنا طول السلك أو لم نعرفه، ما دام بإمكاننا حساب نسبة الطول بعد السحب إلى الطول قبله.
وأخيرًا: يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لجعل 𝑅 اثنين في طرف بمفرده، وهي مقاومة السلك بعد سحبه. إذا أوجدنا قيمة هذه المعادلة، فسنلاحظ أن وحدتي السنتيمتر المربع تحذفان في البسط والمقام. وهذا أمر جيد؛ لأن وحدة الأوم هي التي تتبقى، وهي الوحدة التي نريدها بالفعل؛ لأننا نحسب مقاومة. وبذلك نجد أن مقاومة السلك بعد سحبه تساوي 40 أوم، وهذه هي الإجابة النهائية للسؤال. إذن مقاومة السلك بعد سحبه بانتظام تساوي 40 أوم.
