فيديو السؤال: إيجاد نقطة تقاطع ثلاثة مستويات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد نقطة تقاطع المستويات أربعة ﺱ على سبعة ناقص ﺹ على سبعة زائد اثنين ﻉ على سبعة يساوي واحدًا، وﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد خمسة ﻉ ناقص ١٦ يساوي صفرًا، واثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص أربعة ﻉ ناقص تسعة يساوي صفرًا.

مطلوب منا إيجاد نقطة تقاطع ثلاثة مستويات. بما أن المستويات تتقاطع عند نقطة واحدة، فهذا يعني أن نقطة التقاطع هي الحل الوحيد للنظام المكون من ثلاث معادلات، أي النظام المكون من معادلات المستويات الثلاثة. هناك عدة طرق يمكننا استخدامها لحل ذلك. لكننا سنستخدم قاعدة كرامر، إذن، علينا إعادة كتابة كل من المعادلات الثلاث على صورة يمكن تحويلها إلى معادلة مصفوفية. بترقيم المعادلات بالأرقام واحد واثنين وثلاثة، نجد أنه إذا ضربنا طرفي المعادلة رقم واحد في سبعة، فسنحصل على أربعة ﺱ ناقص ﺹ زائد اثنين ﻉ يساوي سبعة. وبإضافة ١٦ إلى طرفي المعادلة رقم اثنين، نحصل على ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد خمسة ﻉ يساوي ١٦. وأخيرًا، بإضافة تسعة إلى طرفي المعادلة رقم ثلاثة، نحصل على اثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص أربعة ﻉ يساوي تسعة.

يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة نظام المعادلات هذا على صورة مصفوفة، كما هو موضح. عناصر مصفوفة المعاملات هي معاملات ﺱ وﺹ وﻉ في كل معادلة من المعادلات الثلاث. سنضرب ذلك في مصفوفة المتغيرات التي عناصرها ﺱ وﺹ وﻉ. وفي الطرف الأيسر، لدينا مصفوفة الثوابت التي عناصرها هي الثوابت في الطرف الأيسر من المعادلات.

دعونا الآن نفرغ بعض المساحة لإجراء العمليات الحسابية، ونستخدم قاعدة كرامر. تنص هذه القاعدة على أن ﺱ يساوي Δ ﺱ على Δ، وﺹ يساوي Δﺹ على Δ، وﻉ يساوي Δﻉ على Δ هو الحل الوحيد لنظام المعادلات ﺃﺱ يساوي ﺏ، حيث Δ هو المحدد غير الصفري لمصفوفة المعاملات ﺃ. وΔﺱ هو محدد المصفوفة الناتجة عن استبدال المصفوفة ﺏ بالعمود الأول في المصفوفة ﺃ. وهي مصفوفة الثوابت. وبالمثل، بالنسبة إلى Δﺹ، نستبدل المصفوفة ﺏ بالعمود الأوسط. وبالنسبة إلى Δﻉ، نستبدل المصفوفة ﺏ بالعمود الثالث. يجب التأكيد على أن المستويات الثلاثة تتقاطع عند نقطة واحدة إذا — وفقط إذا — كان Δ، وهو محدد المصفوفة ﺃ، لا يساوي صفرًا. وهذا يماثل القول إن هناك حلًّا وحيدًا لنظام المعادلات.

حسنًا، دعونا نبدأ بإيجاد محدد مصفوفة المعاملات ﺃ، أي Δ. بالفك باستخدام الصف الأول، يصبح لدينا أربعة مضروبًا في محدد المصفوفة التي عناصرها ثلاثة، خمسة، ثلاثة، سالب أربعة ناقص سالب واحد في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي عناصرها واحد، خمسة، اثنان، سالب أربعة زائد اثنين في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي عناصرها واحد، ثلاثة، اثنان، ثلاثة، مع ملاحظة أنه علينا الانتباه لإشارات العوامل المرافقة. وهي موجب وسالب وموجب. وبأخذ محددات المصفوفات من الرتبة اثنان في اثنين، أي ﺃﺩ ناقص ﺏج، يصبح لدينا أربعة مضروب في ثلاثة في سالب أربعة ناقص خمسة في ثلاثة زائد واحد في سالب أربعة ناقص خمسة في اثنين زائد اثنين في واحد في ثلاثة ناقص ثلاثة في اثنين.

داخل الأقواس المعقوفة، لدينا سالب ١٢ ناقص ١٥، وسالب أربعة ناقص ١٠، وثلاثة ناقص ستة. وهذا يساوي أربعة في سالب ٢٧ ناقص ١٤ ناقص ستة. إذن، Δ، أي محدد مصفوفة المعاملات ﺃ، يساوي سالب ١٢٨. وبما أن هذا المحدد لا يساوي صفرًا، فإننا أثبتنا أن المستويات الثلاثة تتقاطع عند نقطة واحدة.

بإفراغ بعض المساحة وكتابة قيمة Δ التي أوجدناها، يمكننا الآن التركيز على إيجاد قيمة كل من Δﺱ وΔﺹ وΔﻉ. علينا أن نتذكر أنه لحساب Δﺱ، نستبدل عناصر المصفوفة ﺏ بالعناصر الموجودة في العمود الأول. إذن، العمود الأول للمحدد يحتوي على العناصر سبعة و١٦ وتسعة، والآن، نفك باستخدام الصف الأول وننتبه للإشارات. بفك محددات المصفوفات من الرتبة اثنان في اثنين، يصبح لدينا سبعة مضروبًا في سالب ١٢ ناقص ١٥ زائد سالب ٦٤ ناقص ٤٥ زائد اثنين في ٤٨ ناقص ٢٧. هذا يعطينا سالب ١٨٩ ناقص ١٠٩ زائد ٤٢. وهو ما يساوي سالب ٢٥٦. إذن، يصبح لدينا Δﺱ يساوي سالب ٢٥٦. بكتابة ذلك وإفراغ بعض المساحة، يمكننا الآن حساب Δﺹ.

نتذكر هذه المرة أننا نستبدل عناصر المصفوفة ﺏ بالعمود الثاني. مرة أخرى، بالفك باستخدام الصف الأول وحساب محددات المصفوفات من الرتبة اثنان في اثنين، نحصل على أربعة في سالب ١٠٩ ناقص سبعة في سالب ١٤ زائد اثنين في سالب ٢٣. هذا يعطينا سالب ٤٣٦ زائد ٩٨ ناقص ٤٦، وهو ما يساوي سالب ٣٨٤. إذن، Δﺹ يساوي سالب ٣٨٤. والآن، نفرغ مساحة أكبر ونوجد قيمة Δﻉ، حيث نستبدل هذه المرة عناصر المصفوفة ﺏ بالعمود الثالث للمحدد. بالفك باستخدام الصف الأول مرة أخرى، يصبح لدينا محددات مصفوفات من الرتبة اثنان في اثنين تساوي سالب ٢١ وسالب ٢٣ وسالب ثلاثة، ومن ثم Δﻉ يساوي سالب ١٢٨.

بكتابة ذلك وإفراغ بعض المساحة، يمكننا أخيرًا إيجاد إحداثيات نقطة التقاطع. وهي ﺱ،‏ وﺹ،‏ وﻉ. إذا بدأنا بالنقطة ﺱ، التي تساوي Δﺱ على Δ، يكون لدينا سالب ٢٥٦ على سالب ١٢٨، وهذا يساوي موجب اثنين. إذن، الإحداثي ﺱ يساوي اثنين. بالنسبة إلى الإحداثي ﺹ، الذي يساوي Δﺹ على Δ، يكون لدينا سالب ٣٨٤ مقسومًا على سالب ١٢٨، وهذا يساوي ثلاثة. إذن، الإحداثي ﺹ يساوي ثلاثة. وأخيرًا، الإحداثي الثالث ﻉ يساوي Δﻉ على Δ، وهذا يساوي سالب ١٢٨ على سالب ١٢٨، وهو ما يساوي واحدًا. إذن، الإحداثي ﻉ يساوي واحدًا.

ومن ثم، فإن نقطة تقاطع المستويات الثلاثة هي النقطة التي يكون عندها الإحداثي ﺱ يساوي اثنين، والإحداثي ﺹ يساوي ثلاثة، والإحداثي ﻉ يساوي واحدًا.