نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن إحدى خواص الأجسام التي تتحرك ولها كتلة. هذه الخاصية تعرف باسم كمية الحركة. دعونا أولًا نبدأ بفهم المقصود بكمية الحركة. لنبدأ بالتفكير في جسم، وليكن هذه الكرة، ولنفترض أن لهذه الكرة كتلة 𝑚 وأنها تتحرك في اتجاه اليمين بسرعة متجهة 𝑣. في هذه الحالة ستكون كمية الحركة، التي سنسميها 𝑝، لهذه الكرة هي كتلة الكرة مضروبة في سرعتها المتجهة. هذا هو التعريف العام لكمية الحركة: كتلة الجسم مضروبة في السرعة المتجهة التي يتحرك بها.
دعونا نتخيل أن الكرة الموجودة هنا لها كتلة 𝑚 مقدارها كيلوجرامان وسرعة متجهة 𝑣 مقدارها ثلاثة أمتار لكل ثانية. في هذه الحالة، يمكننا القول إن كمية حركة هذه الكرة 𝑝 تساوي الكتلة، التي تساوي كيلوجرامين، مضروبة في السرعة المتجهة، التي تساوي ثلاثة أمتار لكل ثانية. هذا يعطينا القيمة العددية اثنان في ثلاثة، وهو ما يساوي ستة، ووحدة القياس ستصبح كيلوجرامًا مضروبًا في متر لكل ثانية. وبذلك نجد أن كمية حركة الكرة 𝑝 تساوي ستة كيلوجرام متر لكل ثانية. نستخدم هذه النقطة هنا للتعبير عن الضرب. بعبارة أخرى، نضرب وحدة الكيلوجرام في وحدة المتر لكل ثانية. وبهذه الطريقة نحسب كمية حركة الجسم. إذ نضرب كتلة الجسم في سرعته المتجهة.
وقد رأينا أيضًا أن وحدة قياس كمية الحركة، على الأقل وفقًا لوحدات النظام الدولي الأساسية، هي الكيلوجرام متر لكل ثانية. لكن من الجدير بالملاحظة أننا قد نرى كمية الحركة مكتوبة بوحدات قياس أخرى، مثل وحدة الجرام مضروبة في وحدة المتر لكل ثانية، أو ربما وحدة الكيلوجرام مضروبة في وحدة الكيلومتر لكل ساعة، وما إلى ذلك. ما دام لدينا وحدة قياس للكتلة مضروبة في وحدة قياس للسرعة، فإن وحدة القياس الناتجة ستعبر عن كمية الحركة. ووفقًا للوحدات الأساسية، يمكن التعبير عن كمية الحركة باستخدام الكيلوجرام مضروبًا في المتر لكل ثانية.
دعونا نتخيل الحالة التالية. لنفترض أن لدينا كرة زرقاء كتلتها 𝑚 وسرعتها المتجهة 𝑣. لقد علمنا بالفعل أن كمية حركة هذه الكرة تساوي كتلتها مضروبة في سرعتها المتجهة. ودعونا نتخيل الآن أن لدينا كرة أخرى، هذه المرة وردية اللون، كتلتها تساوي كتلة الكرة الزرقاء لكن سرعتها المتجهة أكبر. سنرمز لهذه السرعة المتجهة بحرف 𝑉 كبير. في هذه الحالة، باستخدام معادلة كمية الحركة، يمكننا ملاحظة أن كمية حركة الكرة الوردية تساوي كتلة الكرة الوردية، ويرمز لها بحرف 𝑚 صغير، مضروبة في سرعتها المتجهة، ويرمز لها بحرف 𝑉 كبير.
ونظرًا لأننا ذكرنا أن السرعة المتجهة، التي نرمز لها بحرف 𝑉 كبير، أكبر من السرعة المتجهة، التي نرمز لها بحرف 𝑣 صغير، فإن هذا يعني أن كمية الحركة 𝑚 مضروبة في 𝑉 أكبر من كمية الحركة 𝑚 مضروبة في 𝑣. وبهذا يكون ما نقوله في هذه الحالة هو أن الكرة الوردية التي تتساوى في كتلتها مع الكرة الزرقاء لكنها تتحرك بسرعة متجهة أكبر من السرعة المتجهة للكرة الزرقاء؛ لها أيضًا كمية حركة أكبر من كمية حركة الكرة الزرقاء.
لنفترض الآن أن لدينا كرة أخرى كتلتها 𝑀 كبير، وهي أكبر من كتلة الكرة الزرقاء لكن سرعتها المتجهة تساوي السرعة المتجهة للكرة الزرقاء، ويرمز لها بحرف 𝑣 صغير. يمكننا إذن في هذه الحالة القول إن كمية حركة الكرة البرتقالية تساوي الكتلة 𝑀 مضروبة في سرعتها المتجهة 𝑣. مرة أخرى نلاحظ أنه نظرًا لأن كتلة الكرة البرتقالية أكبر من كتلة الكرة الزرقاء، فإن كمية حركتها أكبر من كمية حركة الكرة الزرقاء وذلك على الرغم من كونهما تتحركان بالسرعة المتجهة نفسها. وبهذا نكون تعلمنا ما يلي. في حالة وجود جسمين متساويين في الكتلة، تكون كمية الحركة أكبر للجسم الذي سرعته المتجهة أكبر. وفي حالة وجود جسمين متساويين في السرعة المتجهة، تكون كمية الحركة أكبر للجسم الذي كتلته أكبر.
لكن هذا لا يتعين أن ينطبق بالضرورة على الأجسام المختلفة. بمعنى أنه إذا فكرنا في الكرة الزرقاء فقط وتجاهلنا الكرتين الوردية والبرتقالية، فسنلاحظ أنه إذا ازدادت السرعة المتجهة للكرة الزرقاء لتصبح، لنقل مثلًا 𝑉 كبيرًا، فإن كمية الحركة للكرة الزرقاء ستزداد أيضًا بحيث تصبح الكتلة 𝑚 مضروبة في 𝑉. وعليه، يمكن أن تتغير كمية حركة الجسم بمرور الزمن. إذا زادت سرعة الجسم المتجهة، فإن كمية حركته ستزداد أيضًا، والعكس صحيح. وهذا الأمر ينطبق على الكتلة أيضًا. فمثلًا يمكن دحرجة الكرة فوق أرضية مسطحة. وبينما يحدث ذلك تعلق بها بعض الأتربة فتزداد كتلتها. حسنًا، إذا زادت كتلتها، لتصبح 𝑀 كبيرًا، وظلت تتحرك بسرعة متجهة 𝑉 كبير، فإن كمية حركة الكرة 𝑝 تساوي 𝑀 مضروبة في 𝑉. إذن، نلاحظ هنا أنه إذا تغيرت سرعة الجسم المتجهة أو كتلته بمرور الزمن، فإن كمية حركته تتغير أيضًا بمرور الزمن.
وثمة أمر مثير للاهتمام هنا. نلاحظ أننا في معادلة كمية الحركة نستخدم السرعة المتجهة للجسم وليس سرعته القياسية. ويمكننا تذكر أن السرعة المتجهة هي كمية متجهة. هذا يعني أن لها مقدارًا، أو قيمة، واتجاهًا أيضًا. بذلك إذا عدنا إلى الكرة الزرقاء التي رأيناها قبل قليل، فمن المهم أن نقول إن السرعة المتجهة لهذه الكرة الزرقاء تساوي 𝑣 في اتجاه اليمين. بعبارة أخرى، نذكر كلًّا من مقدار السرعة المتجهة، أي 𝑣، والاتجاه نحو اليمين. وبهذا نكون لاحظنا أن السرعة كمية متجهة. علاوة على ذلك فإن كتلة الجسم كمية قياسية. لذا فإن لها مقدارًا وليس لها اتجاه؛ لأننا لا نتحدث عن كتلة الجسم في اتجاه محدد. لكننا نقول إن له هذه الكتلة فحسب.
لذا لإيجاد كمية الحركة نضرب كمية قياسية في كمية متجهة. وهذا يعني أن كمية الحركة نفسها يجب أن تكون هي الأخرى كمية متجهة. هذا يعني أنه يجب أن يكون لها مقدار واتجاه أيضًا. ففي النهاية سرعة الجسم المتجهة هي كمية تتضمن معلومات حول كل من السرعة القياسية للجسم والاتجاه الذي يتحرك فيه. لذا عندما نضرب هذه السرعة المتجهة في الكتلة نحصل على كمية الحركة. ومن ثم فإن كمية الحركة تتضمن حتمًا معلومات حول اتجاه حركة الجسم. وعليه نقول إن الجسم الذي كتلته 𝑚 ويتحرك في اتجاه اليمين بالسرعة المتجهة 𝑣 تكون كمية حركته 𝑝، والتي يساوي مقدارها أو قيمتها 𝑚 في 𝑣. وبالضرورة تكون كمية الحركة هذه في اتجاه اليمين؛ أو بعبارة أخرى في اتجاه السرعة المتجهة.
إذن الهدف الأساسي من كل هذا هو أن نتذكر أنه عند حساب كمية الحركة لجسم، يمكننا استخدام الصيغة 𝑝 تساوي 𝑚𝑣، وذلك لحساب مقدار كمية الحركة أو قيمتها. وعلينا أيضًا أن نضع في اعتبارنا اتجاه كمية الحركة. يصبح هذا الأمر أكثر فائدة عندما نريد معرفة كمية الحركة الكلية لأكثر من جسم وليس لجسم واحد فحسب. دعونا نتخيل أن لدينا كرتين: إحداهما زرقاء والأخرى وردية. لنفترض أن كتلة كل كرة تساوي كيلوجرامًا واحدًا، وأن كلتا الكرتين تتحركان في اتجاه اليمين بسرعة متجهة مقدارها متر لكل ثانية. فما كمية الحركة الكلية للكرتين معًا في هذه الحالة؟ حسنًا، يمكننا القول إن كمية الحركة الكلية، التي سنسميها 𝑝 كليًّا، تساوي كمية حركة الكرة الزرقاء، التي سنسميها 𝑝𝑏، زائد كمية حركة الكرة الوردية، والتي سنسميها 𝑝𝑝.
ويمكننا تذكر أن كمية الحركة لأي جسم تساوي كتلته مضروبة في سرعته المتجهة. في هذه الحالة يمكننا القول إن كمية حركة الكرة الزرقاء تساوي كتلتها، أي كيلوجرامًا واحدًا، مضروبة في سرعتها المتجهة، أي متر لكل ثانية. ثم نضيف إلى ذلك كمية حركة الكرة الوردية، التي تساوي أيضًا كيلوجرامًا واحدًا، أي كتلتها، مضروبًا في سرعتها المتجهة التي مقدارها متر لكل ثانية. بالانتقال إلى كمية الحركة للكرة الزرقاء، نجد أن قيمتها العددية تساوي واحدًا مضروبًا في واحد. ووحدة القياس بالطبع هي الكيلوجرام مضروبًا في متر لكل ثانية، أو كيلوجرام متر لكل ثانية. وهذا يعني أن كمية حركة الكرة الزرقاء تساوي واحد كيلوجرام متر لكل ثانية. وهنا نحسب كمية الحركة للكرة الوردية بالطريقة نفسها. وبذلك تصبح كمية الحركة للكرة الوردية مساوية لواحد كيلوجرام متر لكل ثانية أيضًا.
هذا يعني أن كمية الحركة الكلية للكرتين معًا تساوي واحد كيلوجرام متر لكل ثانية زائد واحد كيلوجرام متر لكل ثانية. واحد زائد واحد يساوي اثنين. ونظرًا لأننا نقيس الكميتين بوحدة واحدة، يمكن جمعهما معًا. هذا يعطينا كمية حركة كلية للكرتين الزرقاء والوردية معًا مقدارها اثنان كيلوجرام متر لكل ثانية. والآن أريد أن أخبركم بمعلومة جانبية، وهي أن السبب الذي جعلنا نوجد كمية الحركة الكلية للكرتين الزرقاء والوردية معًا هو أنه يتعين علينا في بعض الأحيان معرفة تأثير حركة مجموعة من الأجسام. فبدلًا من الكرتين، لنفترض على سبيل المثال أن لدينا جسمًا برتقاليًّا يتكون من جزأين: أحدهما أزرق والآخر وردي. وأن كمية الحركة الكلية للجسم البرتقالي تعتمد على حركة الجسمين الأزرق والوردي. وهذا هو أحد الأسباب التي تجعلنا نوجد كمية الحركة الكلية لأكثر من جسم معًا.
حسنًا، في هذه الحالة وجدنا أن كمية الحركة الإجمالية لجسمين معًا، أي الكرة الزرقاء والكرة الوردية، تساوي اثنين كيلوجرام متر لكل ثانية. دعونا الآن نتخيل الحالة التالية. دعونا نتخيل أن الكرة الزرقاء بقيت على حالها تمامًا، أي إن كتلتها تساوي كيلوجرامًا واحدًا وسرعتها المتجهة تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية في اتجاه اليمين. دعونا أيضًا نتخيل أن كتلة الكرة الوردية تساوي كيلوجرامًا واحدًا كما كانت من قبل، لكنها تحركت في اتجاه اليسار بسرعة متر لكل ثانية هذه المرة. هذه هي الحالة التي يتعين علينا فيها الانتباه للطبيعة المتجهة التي يتميز بها كل من السرعة المتجهة وكمية الحركة. فنظرًا لأن لدينا سرعتين متجهتين لجسمين يتحركان في اتجاهين متعاكسين، أحدهما يتحرك نحو اليمين والآخر يتحرك نحو اليسار، يتعين علينا مراعاة ذلك من خلال اعتبار إحدى السرعتين المتجهتين موجبة والأخرى سالبة.
دعونا نفترض جدلًا أننا سنجعل أي سرعة متجهة نحو اليمين موجبة وأي سرعة متجهة نحو اليسار سالبة. هذا يعني أن الجسم الأزرق يتحرك باتجاه اليمين بسرعة قياسية مقدارها متر لكل ثانية وسرعته المتجهة تساوي مترًا لكل ثانية في اتجاه اليمين، ومن ثم فإن سرعته المتجهة تساوي موجب متر لكل ثانية. على الرغم من أن السرعة القياسية للكرة الوردية تساوي مترًا لكل ثانية أيضًا، فإن السرعة المتجهة تساوي مترًا لكل ثانية في اتجاه اليسار؛ أو بعبارة أخرى السرعة المتجهة تساوي سالب متر لكل ثانية. وعليه فإننا نحاول إيجاد كمية الحركة الكلية للكرتين الزرقاء والوردية معًا. في هذه الحالة بالتحديد، نجد أن كمية الحركة للكرة الزرقاء تساوي كتلتها، التي مقدارها كيلوجرام واحد، مضروبة في سرعتها المتجهة، التي مقدارها متر لكل ثانية نظرًا لأنها موجبة، زائد كمية حركة الكرة الوردية. وهي تساوي كتلتها، أي كيلوجرامًا واحدًا، مضروبة في سرعتها المتجهة، التي تساوي في هذه الحالة سالب متر لكل ثانية.
لذا نجد أنه، في حالة الكرة الزرقاء، لدينا كيلوجرام واحد مضروبًا في متر واحد لكل ثانية، وهو ما يساوي ببساطة كيلوجرام متر لكل ثانية. وفي حالة الكرة الوردية، لدينا كيلوجرام واحد مضروبًا في سالب متر واحد لكل ثانية، وهو ما يساوي ببساطة سالب كيلوجرام متر لكل ثانية. إذن لإيجاد كمية الحركة الكلية نجمع كلًّا من كيلوجرام متر لكل ثانية وسالب كيلوجرام متر لكل ثانية. ناتج جمع هاتين الكميتين يساوي صفرًا. وبذلك نجد أن كمية الحركة الكلية للجسم البرتقالي الذي يتكون من الكرة الزرقاء والكرة الوردية تساوي في الواقع صفر كيلوجرام متر لكل ثانية، وهو ما يبدو في الحقيقة منطقيًّا عند التفكير فيه.
ففي هذه الحالة تحديدًا لدينا كرة زرقاء كمية حركتها تساوي كيلوجرام متر لكل ثانية في اتجاه اليمين. وفي هذه الحالة تلغى تمامًا كمية الحركة هذه بفعل كمية حركة الجسم الوردي، التي تساوي كيلوجرام متر لكل ثانية في اتجاه اليسار أو ما يعادل سالب كيلوجرام متر لكل ثانية في اتجاه اليمين. سبق أن ذكرنا أن أي حركة في اتجاه اليمين تكون موجبة وأي حركة في اتجاه اليسار تكون سالبة. ونظرًا لأن كميتي الحركة للجسمين تلغي إحداهما الأخرى، فإن كمية الحركة للنظام، كما نسميه، والذي يتكون من الكرة الزرقاء والكرة الوردية، تساوي صفر كيلوجرام متر لكل ثانية. وبهذا نكون قد عثرنا على حالة خاصة تساوي فيها كمية الحركة الكلية للنظام، أي الجسم البرتقالي، صفرًا لأن كميتي الحركة للجسمين المكونين للنظام تلغي إحداهما الأخرى. وفي هذه الحالة يكون اتجاه كل من السرعة المتجهة وكمية الحركة في غاية الأهمية. بعبارة أخرى من المهم أن نراعي حقيقة أنهما كميتان متجهتان.
وبعد أن فهمنا المقصود بكمية الحركة وكيف يمكننا حسابها لبعض الأجسام، دعونا نلق نظرة على سؤال كمثال.
قطة كتلتها ثلاثة كيلوجرامات. تتحرك القطة أربعة أمتار في خط مستقيم في زمن مقداره ثانيتان. ما كمية حركة القطة؟
حسنًا، أخبرنا هذا السؤال أن لدينا قطة كتلتها، التي سنسميها 𝑚، تساوي ثلاثة كيلوجرامات. كما أخبرنا أن القطة تتحرك أربعة أمتار في خط مستقيم في زمن مقداره ثانيتان. لذا دعونا نفترض أن القطة بدأت من هذه النقطة وانتهت عند هذه النقطة. ويمكننا القول إن المسافة التي تحركتها القطة تساوي أربعة أمتار، وأنها تحركت هذه المسافة في زمن مقداره ثانيتان. بناء على هذه المعطيات يطلب منا السؤال إيجاد كمية حركة القطة، التي سنرمز لها بالحرف 𝑝. دعونا أولًا نبدأ بتذكر أن كمية حركة الجسم 𝑝 تعرف بأنها كتلة ذلك الجسم مضروبة في سرعته المتجهة. لذا إذا أردنا إيجاد كمية الحركة 𝑝 للقطة، فسنحتاج إلى معرفة كتلتها وسرعتها المتجهة. حسنًا، نحن نعلم كتلتها بالفعل. إذ أخبرنا السؤال أنها تساوي ثلاثة كيلوجرامات.
لكن السؤال لم يخبرنا عن سرعتها المتجهة. ولكن المعطيات التي لدينا كافية لحساب السرعة المتجهة للقطة. دعونا نتذكر أن سرعة الجسم المتجهة تعرف بأنها إزاحة الجسم 𝑠 مقسومة على الزمن الذي يستغرقه الجسم لقطع هذه الإزاحة. وإزاحة الجسم 𝑠 هي ببساطة المسافة التي يقطعها الجسم من نقطة البداية إلى نقطة النهاية في خط مستقيم. ولحسن الحظ أخبرنا السؤال أن القطة تتحرك في خط مستقيم. وعليه فإن إزاحة القطة في هذه الحالة تحديدًا تساوي أربعة أمتار. والزمن المستغرق لقطع هذه الإزاحة يساوي ثانيتين. وبذلك يمكننا في البداية القول إن السرعة المتجهة للقطة تساوي الإزاحة، وهي أربعة أمتار، مقسومة على الزمن المستغرق لقطع هذه الإزاحة، وهو ثانيتان. هذا يعطينا قيمة عددية مقدارها أربعة مقسومة على اثنين كما يعطينا وحدة المتر مقسومة على وحدة الثواني أو المتر لكل ثانية.
وبهذا نجد أن السرعة المتجهة للقطة تساوي مترين لكل ثانية. ونظرًا لأن السرعة المتجهة كمية متجهة، أي إن لها مقدارًا واتجاهًا، يمكننا القول إن السرعة المتجهة في اتجاه إزاحة القطة، والتي تعد كمية متجهة أيضًا. في هذه الحالة رسمنا القطة تتحرك نحو اليمين. وذلك على الرغم من أن السؤال لم يخبرنا في الحقيقة بهذه المعلومة. ولكن كل ما حدث هو أننا افترضنا أن القطة كانت تتحرك نحو اليمين ونحن نرسم الشكل. لذا، في هذه الحالة، لا داعي لأن نقلق بشأن الاتجاه الذي تتحرك فيه القطة. وكذلك إذن لا داعي لأن نقلق بشأن اتجاه السرعة المتجهة للقطة. فكل ما علينا الانتباه له هو أن مقدار السرعة المتجهة للقطة يساوي مترين لكل ثانية.
وهذا يعني أنه أصبح بإمكاننا حساب كمية حركة القطة 𝑝، وهي تساوي كتلة القطة التي نعلم من السؤال أنها ثلاثة كيلوجرامات، مضروبة في سرعتها المتجهة، التي حسبنا للتو أنها تساوي مترين لكل ثانية في السطر أعلاه. وبهذا نجد أن القيمة العددية لكمية حركة القطة 𝑝 تساوي ثلاثة مضروبة في اثنين، أي ستة، ووحدة القياس هي كيلوجرام مضروبًا في متر لكل ثانية، أي كيلوجرام متر لكل ثانية. إذن الإجابة هي أن كمية حركة القطة تساوي ستة كيلوجرام متر لكل ثانية. مرة أخرى على الرغم من أن كمية الحركة كمية متجهة، أي إن لها مقدارًا واتجاهًا، فإنه نظرًا لأن السؤال لم يخبرنا صراحة عن الاتجاه الذي تتحرك فيه القطة، لا يتعين علينا إعطاء الاتجاه في الإجابة. يمكننا ببساطة القول إن كمية الحركة للقطة تساوي ستة كيلوجرام متر لكل ثانية.
الآن بعد أن تناولنا مثالًا، دعونا نلخص ما تحدثنا عنه في هذا الدرس. في البداية رأينا أنه يمكن الحصول على كمية الحركة 𝑝 لجسم كتلته 𝑚 وسرعته المتجهة 𝑣 بالمعادلة 𝑝 تساوي 𝑚𝑣. بعد ذلك رأينا أن كمية الحركة عبارة عن كمية متجهة. هذا يعني أن لها مقدارًا أو قيمة واتجاهًا. وأخيرًا رأينا أيضًا أن وحدة قياس كمية الحركة هي كيلوجرام متر لكل ثانية وفقًا لوحدات النظام الدولي الأساسية، ويمكن كتابتها أيضًا على الصورة جرام متر لكل ثانية أو كيلوجرام كيلومتر لكل ساعة أو غيرها من وحدات الكتلة المضروبة في وحدات السرعة.
