نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺭﺱ يساوي سالب ثلاثة ﺩﺱ مضروبًا في ﻕﺱ ناقص واحد. إذا كانت قيمة المشتقة الأولى لـ ﺩﺱ عند ﺱ يساوي سالب أربعة تساوي سالب واحد، وإذا كانت قيمة المشتقة الأولى لـ ﻕﺱ عند ﺱ يساوي سالب أربعة تساوي سالب تسعة، وﻕ لسالب أربعة يساوي سالب ستة، وﺩ لسالب أربعة يساوي سالب واحد، فأوجد قيمة مشتقة ﺭﺱ عند ﺱ يساوي سالب أربعة.
عندما ننظر إلى هذا السؤال للوهلة الأولى، فقد يبدو معقدًا إلى حد كبير لأن لدينا الكثير من الدوال المختلفة. ولكن، ذلك أمر محوري في السؤال. وهو أن لدينا الكثير من الدوال المختلفة. وإذا تناولنا ﺭﺱ، فسنجد أنها تساوي سالب ثلاثة ﺩﺱ مضروبًا في ﻕﺱ ناقص واحد. أي إن كل ما لدينا هو دالة مضروبة في دالة أخرى. ومن ثم، يمكننا استخدام قاعدة الضرب.
تخبرنا قاعدة الضرب بأنه إذا كان لدينا ﺹ يساوي ﻉﻕ، أي لدينا متغيران مضروبان معًا، فإن مشتقة ﺹ ستساوي ﻉ ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕﺩﻉ على ﺩﺱ. إذن، لدينا ﻉ مضروب في مشتقة ﻕ، وﻕ مضروب في مشتقة ﻉ. وإذا ألقينا نظرة على ما لدينا، فسنرمز لسالب ثلاثة ﺩﺱ بالرمز ﻉ، وسنرمز لـ ﻕﺱ ناقص واحد بالرمز ﻕ.
وعليه، إذا طبقنا قاعدة الضرب على هذين المتغيرين، فسنحصل على سالب ثلاثة ﺩﺱ، وهذا لأننا سنضرب ﻉ في مشتقة ﻕﺱ ناقص واحد. إذن، مشتقة ﻕﺱ ناقص واحد ستصبح مشتقة ﻕﺱ فحسب. وهذا لأننا إذا اشتققنا سالب واحد، فسنحصل على صفر. ثم سنضيف إلى ذلك ﻕﺱ ناقص واحد لأنها هي نفسها ﻕ. ثم نقوم بالضرب في سالب ثلاثة مضروبًا في مشتقة ﺩﺱ. وسنحصل على هذه لأنها هي نفسها مشتقة ﻉ. وإذا كان لدينا ثابت يساوي سالب ثلاثة، فإنه لن يتأثر بالمشتقة. وعليه، سنكتفي بسالب ثلاثة مضروبًا في مشتقة ﺩﺱ.
حسنًا، لقد فعلنا ذلك. ولكن، كيف سيساعدنا هذا؟ كيف سيساعدنا هذا، إذن؟ حسنًا، سيساعدنا هذا لأننا نحاول إيجاد قيمة مشتقة ﺭﺱ عند ﺱ يساوي سالب أربعة. وعليه، أعطانا السؤال الكثير من القيم التي يمكننا التعويض بها. وبذلك نكون قد أعدنا كتابة المقدار بالتعويض عن ﺱ بسالب أربعة. وكما ذكرنا سابقًا، لدينا قيم في السؤال يمكننا التعويض بها الآن.
أولًا، لدينا ﺩ لسالب أربعة يساوي سالب واحد. وإذا عوضنا بهذه القيمة، فسنحصل على سالب ثلاثة مضروبًا في سالب واحد. ثم يضرب هذا المقدار في سالب تسعة. وهذا لأن قيمة مشتقة ﻕﺱ عند ﺱ يساوي سالب أربعة تساوي سالب تسعة. زائد سالب ستة ناقص واحد. فعلنا ذلك لأننا نعلم أن ﻕ لسالب أربعة يساوي سالب ستة، والذي سيضرب مرة أخرى في سالب ثلاثة في سالب واحد. وهذا الحد يساوي الحد الأول الذي أوجدناه.
حسنًا، أصبحنا نعلم الآن هذين المقدارين. وأصبح بإمكاننا حسابهما لإيجاد قيمتيهما. إذن، سيكون لدينا ثلاثة، وهذا لأن سالب ثلاثة مضروبًا في سالب واحد، وسالب مضروبًا في سالب يساوي موجبًا، مضروبًا في سالب تسعة زائد سالب سبعة. وهذا لأن لدينا سالب ستة ناقص واحد. وهذا يساوي سالب سبعة مضروبًا في ثلاثة. ومرة أخرى، لأن لدينا سالب ثلاثة مضروبًا في سالب واحد، ما يعطينا سالب ٢٧ زائد سالب ٢١. حسنًا، إذا جمعنا سالبًا، وهو نفسه الطرح، فسنحصل على سالب ٢٧ ناقص ٢١. وعليه، يمكننا القول إن قيمة مشتقة ﺭﺱ عند ﺱ يساوي سالب أربعة ستساوي سالب ٤٨.
