فيديو السؤال: استخدام العلاقة العكسية بين الدوال الأسية واللوغاريتمات‎

نسخة الفيديو النصية

حل ﺱ زائد ستة يساوي ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تربيع بإيجاد قيمة ﺱ مقربًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

حسنًا، لكي نبدأ في حل هذه المسألة، سننظر أولًا إلى هذا الحد هنا، وهو ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تربيع. ولكي نفهم ما سيصبح عليه هذا الحد، سأقول إن ﺹ يساوي ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تربيع. ومن المهم أن نعرف أن اللوغاريتم الطبيعي يمكن أيضًا أن يسمى هنا اللوغاريتم الطبيعي أو لوغاريتمًا طبيعيًا. لكنني في هذا الفيديو، سوف أطلق عليه اللوغاريتم الطبيعي.

حسنًا، أول ما سنقوم به هو أن نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين. وبهذا، يصبح لدينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تربيع. بعد ذلك، سنطبق إحدى قواعد اللوغاريتمات والتي تنص على أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻫ أس ﺱ يساوي ﺱ اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻫ. وبهذا يصبح لدينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تربيع في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻫ.

بعد ذلك، سنستخدم إحدى العلاقات التي نعرفها وهي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻫ يساوي واحد. ومن ثم، يتبقى لدينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تربيع؛ لأنها ستكون اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تربيع في واحد، وبهذا يكون الناتج اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تربيع. بعد ذلك، يصبح لدينا ﺹ يساوي ﺱ تربيع. ونحن نعرف هذا؛ لأن لدينا لوغاريتمًا للأساس نفسه في كلا طرفي المعادلة.

حسنًا، عظيم، لم سيكون هذا مفيدًا؟ حسنًا، سيكون ذلك مفيدًا؛ لأننا نعرف بالفعل — بالعودة إلى البداية — أن ﺹ كان يساوي ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تربيع. وهكذا، يمكننا أن نقول إن ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تربيع يساوي ﺱ تربيع.

حسنًا، ما يمكنني أن أفعله الآن هو إعادة النظر إلى معادلتنا، ومن ثم يمكننا أن نطبق هذه العلاقة فعليًا ونعوض بـ ﺱ تربيع عن ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تربيع. وهكذا، يصبح لدينا ﺱ زائد ستة يساوي ﺱ تربيع. والآن، نعيد الترتيب، ليصبح المقدار كله يساوي صفر. لذا، طرحت ﺱ وستة من كلا الطرفين. وبهذا، يصبح لدينا صفر يساوي ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ستة.

بعد ذلك، سنحل المعادلة التربيعية باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية. فإذا حللناها إلى عواملها الأولية، يصبح لدينا صفر يساوي ﺱ ناقص ثلاثة في ﺱ زائد اثنين. وسنحصل على هذا العامل؛ لأن سالب ثلاثة في اثنين يساوي سالب ستة. وهذا صحيح؛ لأن هذا هو ما يجب أن يساويه المقدار؛ إذ يجب أن يساوي الحد النهائي من معادلتنا التربيعية. بعد ذلك، يصبح لدينا سالب ثلاثة زائد اثنين يساوي سالب واحد. وذلك صحيح؛ لأن هذا هو معامل الحد ﺱ. حسنًا، رائع، لقد تحققنا من كليهما. إذن، فهما العاملان الصحيحان بالتأكيد.

حسنًا، يمكننا الآن أن نبدأ في الحل. ولكي نتمكن من إيجاد قيم ﺱ في هذه المرحلة، علينا أن نساوي كل زوج من الأقواس بالصفر؛ لأنه إذا كان حل المعادلة صفر، فيجب أن يكون حل زوج واحد من زوجي الأقواس على الأقل يساوي صفر. لذا، سنبدأ أولًا بالقوس ﺱ ناقص ثلاثة يساوي صفر. فإذا أضفنا ثلاثة إلى الطرفين، فسنجد أن ﺱ يساوي ثلاثة. رائع، ها قد حصلنا على واحد من الحلول.

بعد ذلك، إذا كان لدينا ﺱ زائد اثنين يساوي صفر، وطرحنا اثنين من كل طرف، فسنحصل على ﺱ يساوي سالب اثنين. وها قد حصلنا على حلنا الآخر. إذن، يمكننا أن نقول إن قيمة ﺱ في المعادلة ﺱ زائد ستة يساوي ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تربيع، هي ﺱ يساوي ثلاثة أو ﺱ يساوي سالب اثنين.