فيديو السؤال: تحديد المنحنيات المفتوحة والمغلقة

نسخة الفيديو النصية

المنحنى مفتوح أم مغلق؟

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نفهم معنى كلمة «منحنى». في الحياة اليومية، نقول إن الخط أو السطح المنحني هو أي خط غير مستقيم. ولكن في الرياضيات، يختلف معنى كلمة «منحنى» بعض الشيء. أي خط نبدؤه عند نقطة ونحرك القلم ثم نتوقف عند نقطة ما يطلق عليه «منحنى».

ومن ثم، فهذا يشمل خطوطًا كهذه. ومن المثير للاهتمام أنه يشمل خطوطًا كهذه أيضًا. فقد بدأنا عند نقطة وحركنا القلم ثم توقفنا عند نقطة أخرى. يمكننا أيضًا رسم منحنيات نبدأ وننتهي فيها عند نفس الموضع بالضبط. الدائرة هي نوع من المنحنيات. والمستطيل أيضًا نوع من المنحنيات رغم أن الأمر قد لا يبدو كذلك. فنحن نبدأ عند نقطة معينة ونحرك القلم دون رفعه عن الورقة، ثم نصل إلى نقطة ما. وفي هذه الحالة، تكون هي النقطة نفسها التي بدأنا منها.

ولدينا في المسألة نموذج لمنحنى ومطلوب منها تحديد: هل هو منحنى مغلق أم مفتوح؟ دعونا نفكر في معنى هاتين الكلمتين. المنحنى المفتوح هو المنحنى الذي تكون نقطة بدايته ونقطة نهايته مختلفتين. هاتان النقطتان يستحيل فيهما الرجوع إلى نقطة البداية دون رفع القلم عن الورقة. أما المنحنى المغلق، فهو المنحنى الذي تكون نقطة بدايته هي نفس نقطة نهايته. بعبارة أخرى، نعود أدراجنا إلى نقطة البداية.

وإحدى الطرق للتأكد من أن المنحنى مغلق هو أن نتساءل: هل يمكن تلوين المساحة الموجودة داخله؟ إذا كان يمكننا تلوين المساحة الموجودة داخله، فهذا يعني عادة أن المنحنى مغلق. وبالتالي، هل المنحنى في هذا السؤال مفتوح أم مغلق؟ إحدى الطرق المفيدة لمعرفة ذلك هي أن نضع إصبعنا عند أحد طرفي المنحنى ثم نسير مع خط المنحنى. عندما نحرك إصبعنا بطول المنحنى، نصل إلى نقطة مختلفة عن التي بدأنا منها. وبذلك، نعرف أن هذا ليس منحنى مغلقًا. فلدينا هنا نقطة بداية ونقطة نهاية مختلفتان. إذن، المنحنى مفتوح.