نسخة الفيديو النصية
هل جتا ٤٠٠ درجة موجبة أم سالبة؟
لإجابة هذا السؤال، من المفيد تذكر دائرة الوحدة. تذكر، نصف قطر هذه الدائرة يساوي واحدًا، ويمكننا إضافة القياسات التالية للزاوية 𝜃 إلى
التمثيل البياني من خلال التحرك في عكس اتجاه عقارب الساعة.
نبدأ من الزاوية صفر درجة على طول المحور ﺱ. هنا قيمة الزاوية 𝜃 هي ٩٠ درجة. وعند الدوران نصف دورة يكون قياسها ١٨٠ درجة، ثم بعد ذلك ٢٧٠ درجة، وأخيرًا عند العودة
إلى نقطة البداية نكون قد أكملنا دورة كاملة، أي ٣٦٠ درجة.
المطلوب منا في المسألة تحديد ما إذا كانت قيمة جتا ٤٠٠ درجة موجبة أم سالبة. لذا علينا متابعة التحرك في عكس اتجاه عقارب الساعة بفترات قدرها ٩٠ درجة لمعرفة الربع
الذي تقع فيه الزاوية البالغ قياسها ٤٠٠ درجة.
٣٦٠ زائد ٩٠ يعطينا ٤٥٠ درجة. القيمة التالية للزاوية 𝜃 هي ٤٥٠ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية ٤٠٠ درجة يقع في مكان ما في هذا الربع الأول. إذن، علينا تحديد ما إذا كان جتا موجبًا أم سالبًا لقيم الزاوية 𝜃 في الربع الأول.
تذكر، جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. لنطلق اسمًا على الزوج المرتب الذي يقابل زاوية قياسها ٤٠٠ درجة. يمكننا تسميته ﺃ، ﺏ؛ حيث يجب أن يكون كل من ﺃ وﺏ عددين موجبين بما أنهما في الربع
الأول.
يمكننا عندئذ إنشاء مثلث قائم الزاوية من هذا الزوج المرتب. ارتفاع هذا المثلث يقابل قيمة الإحداثي ﺹ وهي ﺏ. وعرض المثلث يقابل قيمة الإحداثي ﺱ وهي ﺃ. وبالطبع، كما ذكرنا سابقًا، فإن طول نصف قطر هذه الدائرة يساوي وحدة واحدة، ومن ثم فإن
طول وتر المثلث يساوي وحدة واحدة. الضلع المجاور في هذا المثلث هو الضلع الملاصق تمامًا للزاوية 𝜃. وطوله ﺃ. والوتر هو الضلع المقابل مباشرة للزاوية القائمة. وطوله يساوي واحدًا.
إذن، بالنسبة إلى قيمة الزاوية 𝜃 التي تقع في الربع الأول، جتا 𝜃 يساوي ﺃ على واحد،
أي ببساطة ﺃ. وبما أننا قلنا إن ﺃ يجب أن يكون أكبر من الصفر — أي إنها قيمة موجبة — فهذا يعني أن
جتا 𝜃 يجب أن يكون أيضًا أكبر من الصفر لأنه يساوي ﺃ. وهذا ينطبق على كل قيم 𝜃 التي تقع في الربع الأول. بما أن الزاوية ٤٠٠ درجة تقع في الربع الأول، فهذا يعني أن قيمة جتا ٤٠٠ درجة هي قيمة
موجبة.