نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻉ يساوي سالب ثلاثة ناقص سبعة ﺕ، فأوجد السعة الأساسية للعدد ﻉ مقربًا لأقرب منزلتين عشريتين.
في هذا السؤال، لدينا العدد المركب ﻉ. ومطلوب منا إيجاد السعة الأساسية لقيمة ﻉ. وعلينا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا أن نتذكر المقصود بسعة ﻉ ومعنى أن تكون هذه السعة هي السعة الأساسية لـ ﻉ. نتذكر أن سعة العدد المركب ﻉ تساوي 𝜃 عندما تكون 𝜃 هي الزاوية التي يصنعها ﻉ مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي على مخطط أرجاند.
هناك بضعة أمور حول هذا التعريف تجدر الإشارة إليها. أولًا، عندما نقول الزاوية التي يصنعها ﻉ مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي، فنحن نعني الزاوية الواقعة بين الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي والشعاع الذي يصل بين نقطة الأصل والنقطة ﻉ. لكن، قد يكون من الأسهل التفكير فيها على أنها الزاوية التي يصنعها ﻉ مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي.
بما أن 𝜃 ستمثل الزاوية المقيسة من الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي؛ فهذا يعني أنه ستكون هناك قيم متعددة للسعة. على سبيل المثال، الزوايا التي قياسها صفر و٣٦٠ و٧٢٠ جميعها يمثل القيمة نفسها. ولتجنب هذه المشكلة، نستخدم مفهوم السعة الأساسية. للحصول على السعة الأساسية بالراديان، تكون 𝜃 أكبر من سالب 𝜋 وأقل من أو تساوي 𝜋. وينطبق الأمر نفسه إذا أردنا قياس هذه الزاوية بالدرجات. فتكون 𝜃 أكبر من سالب ١٨٠ درجة وأقل من أو تساوي ١٨٠ درجة.
تجدر الإشارة هنا إلى أنه عندما نقول إن الزاوية موجبة، فإننا نعني أن هذه الزاوية تقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. وعندما نقول إنها زاوية سالبة، فإننا نعني أن هذه الزاوية تقاس في اتجاه دوران عقارب الساعة. بعد أن عرفنا هذه المعلومات، أصبحنا الآن مستعدين لإيجاد سعة العدد المركب ﻉ المعطى في السؤال. وبما أنه علينا إيجاد قياس زاوية، ستكون أسهل طريقة لفعل ذلك هي وضع نقطة على مخطط أرجاند.
نبدأ برسم المحورين. تذكر أن المحور الأفقي في مخطط أرجاند يمثل الجزء الحقيقي من العدد المركب، والمحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي منه. نريد تمثيل ﻉ يساوي سالب ثلاثة ناقص سبعة ﺕ على مخطط أرجاند. ويمكننا ملاحظة أن ﻉ معطى في الصورة الجبرية. وهي ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان. لذا، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد الجزأين التخيلي والحقيقي لقيمة ﻉ.
الجزء الحقيقي من العدد ﻉ هو قيمة ﺃ، أي الثابت الذي يكون بمفرده، وهو هنا سالب ثلاثة. والجزء التخيلي من العدد ﻉ هو قيمة ﺏ أو معامل ﺕ، وهو هنا سالب سبعة. إذن، الإحداثي الأفقي للعدد ﻉ على مخطط أرجاند هو الجزء الحقيقي منه، أي سالب ثلاثة، والإحداثي الرأسي له هو الجزء التخيلي منه، أي سالب سبعة. إذن، يمكننا تمثيل ﻉ على مخطط أرجاند.
سنرسم الشعاع الذي يصل ﻉ بنقطة الأصل. وأخيرًا، يمكننا رسم سعة ﻉ على المخطط. وبما أننا نريد إيجاد السعة الأساسية لـ ﻉ، فلا يمكننا أن نقطع سوى نصف دورة كحد أقصى، وسيكون علينا التحرك في اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي. لقد أوضحنا أن سعة ﻉ ستكون سالبة.
هناك عدة طرق مختلفة لإيجاد القيمة الدقيقة لـ 𝜃. ومعظم هذه الطرق يتضمن استخدام بعض قوانين حساب المثلثات. ولا يهم أي الطرق تفضل. في هذا الفيديو، سنوجد قيمة 𝛼 الموضحة على المخطط. ولإيجاد قيمة 𝛼، علينا استخدام حساب المثلثات. دعونا أولًا نوجد طولي ضلعي المثلث. نعلم أن الارتفاع يساوي سبعة والعرض يساوي ثلاثة. إنهما القيمتان المطلقتان لإحداثيي النقطة ﻉ، ونعلم أيضًا أن هذا المثلث قائم الزاوية.
إذن، 𝛼 هي زاوية في مثلث قائم الزاوية، حيث نعرف طول الضلع المقابل وطول الضلع المجاور. وباستخدام حساب المثلثات، فإن ظا 𝛼 يساوي سبعة على ثلاثة. بعبارة أخرى، 𝛼 هي الدالة العكسية للظل لسبعة على ثلاثة. وباستخدام الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات، نحصل على 𝛼 يساوي العدد العشري غير المنتهي ٦٦٫٨٠ درجة. تجدر الإشارة هنا إلى أن قيمة الزاوية 𝛼 موجبة لأننا نحسب قياس هذه الزاوية. ويمكننا استخدام ذلك لإيجاد قياس الزاوية 𝜃، ثم استخدام ذلك لإيجاد قيمة 𝜃.
نلاحظ في المخطط أن 𝛼 و𝜃 زاويتان تقعان على خط مستقيم. ومجموع قياسي هاتين الزاويتين يساوي ١٨٠ درجة. هناك بعض الطرق المختلفة لكتابة ذلك. سنكتب ذلك على الصورة 𝛼 زائد القيمة المطلقة لـ 𝜃 يساوي ١٨٠ درجة. ويمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة 𝜃. نطرح 𝛼 من طرفي هذه المعادلة. وهذا يعطينا قياس الزاوية 𝜃 يساوي ١٨٠ درجة ناقص 𝛼، وهو ما يساوي ١١٣٫١٩٨ درجة لأقرب ثلاث منازل عشرية. عرفنا من المخطط أنه بما أن 𝜃 تقاس في اتجاه دوران عقارب الساعة، فهي سالبة. وبذلك نكون قد أوضحنا أن 𝜃 تساوي سالب ١١٣٫١٩٨ درجة لأقرب ثلاث منازل عشرية.
لكن يطلب منا السؤال تقريب الإجابة إلى أقرب منزلتين عشريتين. لذا، ننظر إلى المنزلة العشرية الثالثة لنعرف ما إذا كان علينا التقريب لأعلى أو لأسفل. وهي تساوي ثمانية، أي أكبر من خمسة. إذن، علينا التقريب لأعلى. وبما أن الرقم التالي هو تسعة، فعلينا حمله إلى المنزلة العشرية الأولى. إذن، الزاوية 𝜃 لأقرب منزلتين عشريتين تساوي سالب ١١٣٫٢٠ درجة، وهذه هي الإجابة النهائية.
بذلك نكون قد تمكنا من إيجاد السعة الأساسية لـ ﻉ يساوي سالب ثلاثة ناقص سبعة ﺕ لأقرب منزلتين عشريتين. ووجدنا أن هذه الزاوية تساوي سالب ١١٣٫٢٠ درجة.
