فيديو السؤال: فهم نسبة جيب تمام الزاوية

نسخة الفيديو النصية

في الشكل الآتي، قياس الزاوية 𝐵𝐴𝐶 يساوي 90 درجة و𝐴𝐷 عمودي على 𝐵𝐶. ما 𝐵𝐶 في cos 𝜃؟

لدينا عدد من المعطيات. أولًا، نعلم أن قياس الزاوية 𝐵𝐴𝐶 يساوي 90 درجة. ونعلم أيضًا أن 𝐴𝐷 عمودي، وكلمة عمودي تعني أنهما يشكلان زاوية قياسها 90 درجة. إذن 𝐴𝐷 عمودي على 𝐵𝐶. ومن ثم فإن هذه الزاوية ستكون 90 درجة، وهذه أيضًا.

والمطلوب في السؤال هو إيجاد 𝐵𝐶 في cos 𝜃. و𝐵𝐶 هو طول هذا الضلع. ليس هناك الكثير من الأمور المتعلقة بطول الضلع. لذلك، لننظر إلى cos 𝜃. ها هي 𝜃. والآن ماذا يعني جيب التمام؟ جيب التمام هو جزء من المتطابقات المثلثية. ويوجد الجيب، وجيب التمام، والظل، وكلها تتعامل مع المثلثات قائمة الزاوية. وفي المثلثات قائمة الزاوية، علينا تحديد اسم كل ضلع.

فالضلع المقابل للزاوية 90 درجة هو أطول ضلع، ويسمى وتر المثلث قائم الزاوية، وهذا ينطبق على هذين الضلعين هنا وهنا. سنسمي هذين الضلعين بناء على الزاوية التي نشير إليها، وهي 𝜃. لذا إذا كانت 𝜃 هنا، فإننا نشير إلى هذه الزاوية. إذن يقابل هذه الزاوية ضلع يسمى الضلع المقابل. والضلع المجاور لها — ليس وترًا — وإنما يسمى الضلع المجاور.

والآن إذا كانت 𝜃 في الجانب الآخر، فسنحتاج إلى تبديل الضلعين المقابل والمجاور. لكن الوتر يكون دائمًا مقابلًا للزاوية 90 درجة. إذن، الجيب وجيب التمام والظل جميعها يعتمد على هذه الزاوية القائمة. وجيب الزاوية 𝜃 يساوي الضلع المقابل على الوتر. وجيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي الضلع المجاور على الوتر. وظل الزاوية 𝜃 يساوي الضلع المقابل على الضلع المجاور.

مرة أخرى، لنلق نظرة على جيب تمام الزاوية 𝜃. إذن ها هي الزاوية 𝜃. يجب أن تكون في مثلث قائم الزاوية. وعليه إذا نظرنا إلى المثلث الكبير 𝐵𝐴𝐶، فسنرى أن الضلع 𝐴𝐵 هو الضلع المقابل للزاوية 𝜃، و𝐵𝐶 هو الوتر لأنه مقابل للزاوية 90 درجة عند النقطة 𝐴، والضلع المجاور سيكون 𝐴𝐶.

ومن ثم، إذا كنا نريد إيجاد cos 𝜃، فإن جيب التمام يساوي الضلع المجاور على الوتر، أي 𝐴𝐶 على 𝐵𝐶. إذن، يمكننا التعويض عن cos 𝜃 بـ 𝐴𝐶 على 𝐵𝐶. ويمكننا كتابة 𝐵𝐶 الموجود في البداية على واحد. وما يحدث هو أن 𝐵𝐶 و𝐵𝐶 سيلغي أحدهما الآخر، ويتبقى لنا 𝐴𝐶. إذن 𝐴𝐶 هو الحل النهائي.

ولكن، ماذا لو نظرنا إلى المثلث 𝐴𝐷𝐶؟ ‏cos 𝜃 سيتغير لأن الضلع المقابل أصبح 𝐴𝐷، والمجاور 𝐶𝐷، والوتر هو 𝐴𝐶. إذن فإن الضلع المجاور على الوتر يجعل cos 𝜃 يساوي 𝐶𝐷 على 𝐴𝐶. وإذا ضربنا 𝐵𝐶 في ذلك، فلن ينتهي بنا الأمر بقطعة مستقيمة واحدة. إذن، استخدام المثلث الأكبر سيكون الاختيار الصحيح. ومرة أخرى، حلنا النهائي سيكون 𝐴𝐶.