نسخة الفيديو النصية
يمكن التعبير عن الطول الموجي 𝜆 لإلكترون طاقة حركته 𝐸 على الصورة 𝜆 يساوي 𝑘 في ℎ مقسومًا على 𝐸؛ حيث ℎ ثابت بلانك، 𝑘 متغير. أي من الآتي يساوي 𝑘؟ (أ) نصف سرعة الإلكترون. (ب) نصف كمية حركة الإلكترون. (ج) نصف كتلة الإلكترون. (د) لا توجد إجابة صحيحة.
لدينا هنا هذه المعادلة؛ حيث 𝜆 هو الطول الموجي لإلكترون طاقة حركته 𝐸، وℎ هو ثابت بلانك. وعلينا معرفة أي من خيارات الإجابة يصف هذا المتغير 𝑘. إحدى طرق استبعاد بعض هذه الخيارات هي التفكير في الوحدات الموجودة على كلا طرفي المعادلة. ونظرًا لأن هذه معادلة، فلا بد أن تتساوى الوحدات الموجودة في الطرف الأيسر مع تلك الموجودة في الطرف الأيمن.
إذا كنا نستخدم الوحدات الأساسية للنظام الدولي للوحدات عندما يمكن ذلك، فإن وحدة الطول الموجي ستكون المتر، ووحدة ثابت بلانك ℎ ستكون الجول في الثانية، ووحدة طاقة الحركة للإلكترون هي الجول. يمكننا إذن كتابة هذه المعادلة، وهي معادلة للوحدات فقط. في الطرف الأيسر، لدينا المتر، وهو وحدة الطول الموجي، ثم لدينا وحدة 𝑘، أيًّا كانت هذه الوحدة، مضروبة في وحدة الجول في الثانية، مقسومة على الجول.
يمكننا أن نلاحظ أن وحدتي الجول في البسط والمقام تلغي كل منهما الأخرى. وهذا يعني أن وحدة المتغير 𝑘 مضروبة في الثانية لا بد أن تساوي وحدة المتر. تتطلب هذه المعادلة إذن أن تكون وحدة 𝑘 هي المتر لكل ثانية. وبهذه الطريقة، ستلغى وحدة الثانية في البسط مع الوحدة نفسها في المقام. ويصبح لدينا معادلة مبسطة تنص على أن وحدة المتر في الطرف الأيمن تساوي وحدة المتر في الطرف الأيسر، وهذا صحيح بالطبع. بما أن وحدة 𝑘 تستخدم للتعبير عن مسافة، مقيسة بوحدة المتر في هذا الحالة، مقسومة على الزمن، مقيسًا بالثانية في هذه الحالة، فإننا نعلم أن 𝑘 لا بد أن يمثل سرعة قياسية أو سرعة متجهة.
بالنظر إلى خيارات الإجابة، نعلم أن الخيار (ب) غير صحيح. لا يمكن أن يكون 𝑘 كمية حركة؛ لأن وحدة قياس كمية الحركة ليست مثل وحدة قياس السرعة المتجهة. ولنفس السبب، لا يمكن أن يكون الخيار (ج) صحيحًا أيضًا. فوحدة الكتلة ليست مثل وحدة السرعة المتجهة. حسنًا، عند هذه النقطة، قد نميل إلى الخيار (أ). ولكننا نلاحظ أن هذا الخيار يحتوي على تعبير غريب نوعًا ما وهو: «نصف سرعة الإلكترون.» حتى هذه اللحظة، حددنا أن 𝑘 يشير إلى سرعة، ولكننا لم نجد أنه نصف أي شيء. لمعرفة إذا ما كان هذا الخيار صحيحًا أم لا، علينا التفكير في هذا السؤال من منظور مختلف.
تذكر أن لدينا إلكترونًا طوله الموجي 𝜆. ويوصف هذا الطول الموجي بمعادلة دي برولي. وتنص هذه المعادلة على أن الطول الموجي لجسيم يساوي ثابت بلانك ℎ مقسومًا على كمية الحركة 𝑝 للجسيم. وكمية الحركة 𝑝 لجسم ما تساوي كتلته في سرعته. ومن ثم، فإن طول موجة دي برولي لجسم يساوي ثابت بلانك مقسومًا على كتلة الجسم في سرعته.
بعد إفراغ بعض المساحة للحل، يمكننا تطبيق صيغة طول موجة دي برولي للإلكترون على هذه المعادلة المعطاة. بعبارة أخرى، بالإضافة إلى القول إن 𝜆 يساوي 𝑘 في ℎ مقسومًا على 𝐸، يمكننا القول إنه أيضًا يساوي ℎ مقسومًا على 𝑚 في 𝑣. وبالتركيز على هذه المعادلة فقط، يمكننا ملاحظة أن ثابت بلانك ℎ مشترك في الطرفين، ومن ثم يمكننا حذفه.
إذن، يصبح لدينا المتغير 𝑘 مقسومًا على طاقة حركة الإلكترون يساوي واحدًا مقسومًا على كتلة الإلكترون في سرعته. دعونا الآن نتذكر أن طاقة الحركة لجسم، ونشير إليها بالرمز 𝐸، تساوي نصف كتلة هذا الجسم في مربع سرعته. بالتعويض بذلك، نجد أن 𝑘 مقسومًا على نصف 𝑚𝑣 تربيع يساوي واحدًا على 𝑚 في 𝑣.
بضرب طرفي هذه المعادلة في 𝑚 في 𝑣، نجد أنه في الطرف الأيسر، يحذف عامل واحد من 𝑚 وعامل واحد من 𝑣 من البسط والمقام. وفي الطرف الأيمن، يحذف هذان العاملان تمامًا. يمكن تبسيط المعادلة لدينا إلى 𝑘 مقسومًا على نصف في 𝑣 يساوي واحدًا. بضرب كلا الطرفين في نصف في السرعة 𝑣، يحذف هذا العامل من الطرف الأيسر، ونحصل على النتيجة النهائية المبسطة وهي 𝑘 يساوي 𝑣 على اثنين.
وهذا هو ما يعبر عنه خيار الإجابة (أ)؛ حيث يصف 𝑘 بأنه نصف سرعة الإلكترون. 𝑘 يساوي 𝑣 مقسومًا على اثنين. إذن، نختار الإجابة (أ). المتغير 𝑘 يساوي نصف سرعة الإلكترون.