نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص العمليات على الجذور التكعيبية لتبسيط المقادير.
سنبدأ بتذكر إحدى الخواص الأساسية التي علينا استخدامها في هذا الفيديو. تنص قاعدة حاصل ضرب الجذور التكعيبية على أنه بالنسبة إلى أي عددين حقيقيين ﺃ، ﺏ، نجد أن الجذر التكعيبي لـ ﺃ مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ﺏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ مضروبًا في ﺏ. على سبيل المثال دعونا نفترض أن علينا ضرب الجذر التكعيبي لـ ١٢ في الجذر التكعيبي لـ ١٨. باستخدام القاعدة السابقة يمكن إعادة كتابة ذلك على الصورة: الجذر التكعيبي لـ ١٢ مضروبًا في ١٨. وبما أن ١٢ في ١٨ يساوي ٢١٦، فإننا نحصل على الجذر التكعيبي لـ ٢١٦. وبما أن ستة تكعيب يساوي ٢١٦؛ إذن ٢١٦ مكعب كامل، ومن ثم فإن الجذر التكعيبي لـ ٢١٦ يساوي ستة.
يمكننا أيضًا تبسيط الجذر التكعيبي الذي يقبل القسمة على مكعب كامل بتقسيمه إلى حاصل ضرب جذور تكعيبية. على سبيل المثال يمكننا إعادة كتابة الجذر التكعيبي لـ ٥٤ على صورة الجذر التكعيبي لـ ٢٧ مضروبًا في اثنين. ومن ثم يمكن كتابة ذلك على صورة الجذر التكعيبي لـ ٢٧ مضروبًا في الجذر التكعيبي لاثنين. وأخيرًا بما أن الجذر التكعيبي لـ ٢٧ يساوي ثلاثة، فإن الجذر التكعيبي لـ ٥٤ في أبسط صورة هو ثلاثة مضروبًا في الجذر التكعيبي لاثنين.
باستخدام الطريقة الثانية هذه، يمكننا إعادة كتابة الجذر التكعيبي لمكعب غير كامل في صورة مبسطة. بمعلومية أي عدد صحيح ﺟ، نكتب الجذر التكعيبي لـ ﺟ على الصورة: ﺃ مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ﺏ؛ حيث يمثل ﺏ أصغر عدد صحيح موجب ممكن، وذلك باستخدام الخطوات الآتية. أولًا نوجد أكبر مكعب كامل يقبل ﺟ القسمة عليه. ثانيًا نختار العدد الصحيح ﺃ ليكون له نفس إشارة ﺟ؛ بحيث يقبل ﺟ القسمة على ﺃ تكعيب، وبحيث يكون ﺃ تكعيب أكبر مكعب كامل يقبل ﺟ القسمة عليه. ومن ثم نجد أن الجذر التكعيبي لـ ﺟ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب مضروبًا في ﺏ؛ وهو ما يساوي ﺃ مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ﺏ.
سنتناول الآن مثالين لهذا النوع.
اكتب كلًّا من المقادير الجذرية الآتية على صورة ﺃ مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ﺏ؛ حيث ﺃ، ﺏ عددان صحيحان، ويكون لـ ﺏ أصغر قيمة موجبة ممكنة: الجذر التكعيبي لـ ٢٥٦، والجذر التكعيبي لسالب ٥٤٠.
نبدأ الجزء الأول من هذا السؤال بالبحث عن المكعبات الكاملة التي يمكن قسمة ٢٥٦ عليها. أول ستة مكعبات كاملة هي: واحد، وثمانية، و٢٧، و٦٤، و١٢٥، و٢١٦. وأكبر عدد من بين هذه الأعداد يمكن قسمة ٢٥٦ عليه دون باق هو٦٤. بتذكر قاعدة حاصل ضرب الجذور التكعيبية؛ لأي عددين حقيقيين ﻡ، ﻥ كما هو موضح، يمكننا إعادة كتابة الجذر التكعيبي لـ ٢٥٦ على صورة الجذر التكعيبي لـ ٦٤ مضروبًا في الجذر التكعيبي لأربعة. وبما أن الجذر التكعيبي لـ ٦٤ يساوي أربعة، فإن الجذر التكعيبي لـ ٢٥٦ يساوي أربعة مضروبًا في الجذر التكعيبي لأربعة. وهذا مكتوب على الصورة الصحيحة كما هو مطلوب.
يمكننا الإجابة عن الجزء الثاني من السؤال باستخدام الطريقة نفسها. لكننا نلاحظ هذه المرة أننا نحاول إيجاد الجذر التكعيبي لعدد سالب. بما أن ٢٧ أكبر مكعب كامل نستطيع قسمة ٥٤٠ عليه؛ إذن يمكننا إعادة كتابة الجذر التكعيبي لسالب ٥٤٠ على صورة الجذر التكعيبي لسالب ٢٧ مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ٢٠. الجذر التكعيبي لسالب ٢٧ هو سالب ثلاثة. وبذلك يمكن تبسيط الإجابة إلى سالب ثلاثة مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ٢٠.
في المثال التالي سنطبق خاصية حاصل ضرب الجذور التكعيبية لتبسيط حاصل ضرب جذرين.
عبر عن الجذر التكعيبي لأربعة مضروبًا في الجذر التكعيبي لسالب ١٦ في أبسط صورة.
للإجابة عن هذا السؤال نتذكر أولًا أنه بالنسبة إلى أي عددين حقيقيين ﺃ، ﺏ، نجد أن الجذر التكعيبي لـ ﺃ مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ﺏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ مضروبًا في ﺏ. هذا يعني أن الجذر التكعيبي لأربعة مضروبًا في الجذر التكعيبي لسالب ١٦ يساوي الجذر التكعيبي لأربعة مضروبًا في سالب ١٦. أربعة مضروبًا في سالب ١٦ يساوي سالب ٦٤. إذن يمكن تبسيط هذا المقدار على النحو الموضح. بعد ذلك نلاحظ أن سالب أربعة تكعيب يساوي سالب ٦٤. ومن ثم فإن الجذر التكعيبي لسالب ٦٤ يساوي سالب أربعة.
لقد تناولنا حتى الآن في هذا الفيديو تبسيط الجذور التكعيبية للأعداد الصحيحة. ومع ذلك تنطبق هذه النتيجة على الجذور التكعيبية لأي أعداد حقيقية. أحد تطبيقات هذه النتيجة هو إيجاد الجذر التكعيبي لخارج قسمة الأعداد الحقيقية. بالنسبة إلى أي عددين حقيقيين ﺃ، ﺏ؛ حيث ﺏ لا يساوي صفرًا، نجد أن الجذر التكعيبي لـ ﺃ على ﺏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ مقسومًا على الجذر التكعيبي لـ ﺏ. سنتناول الآن مثالًا لاستخدام كلتا الخاصيتين لتبسيط مقدار يتضمن جذورًا.
بسط الجذر التكعيبي لاثنين مضروبًا في الجذر التكعيبي لأربعة مقسومًا على الجذر التكعيبي لـ ٣٢ مضروبًا في الجذر التكعيبي لسالب اثنين.
نبدأ بملاحظة عدم وجود أي مكعب كامل في هذه الأعداد الموجودة لدينا هنا. ومن ثم لا يمكننا إيجاد قيمة أي جذر من الجذور المنفردة مباشرة. بدلًا من ذلك سنستخدم خاصيتين من خواص الجذور التكعيبية. الخاصية الأولى هي أن الجذر التكعيبي لـ ﺃ مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ﺏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ مضروبًا في ﺏ. هذا ينطبق إذا كان ﺃ، ﺏ عددين حقيقيين، كما هي الحال في هذا السؤال. يمكننا إعادة كتابة بسط الكسر على صورة الجذر التكعيبي لاثنين مضروبًا في أربعة. يمكن تبسيط المقام إلى الجذر التكعيبي لـ ٣٢ مضروبًا في سالب اثنين. ومن ثم نحصل على الجذر التكعيبي لثمانية على الجذر التكعيبي لسالب ٦٤.
الخاصية الثانية هي استخدام حقيقة أنه عندما يكون ﺃ، ﺏ عددين حقيقيين، وﺏ لا يساوي صفرًا؛ فإن الجذر التكعيبي لـ ﺃ على الجذر التكعيبي لـ ﺏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ مقسومًا على ﺏ. ومن ثم يمكننا إعادة كتابة المقدار على صورة الجذر التكعيبي لثمانية على سالب ٦٤. الكسر ثمانية على ٦٤ في أبسط صورة يساوي ثمنًا. هذا يعني أن ذلك المقدار الذي لدينا يمكن تبسيطه إلى الجذر التكعيبي لسالب ثمن.
وأخيرًا بما أن سالب نصف تكعيب يساوي سالب ثمن؛ إذن الجذر التكعيبي لسالب ثمن يساوي سالب نصف. إذن المقدار: الجذر التكعيبي لاثنين مضروبًا في الجذر التكعيبي لأربعة مقسومًا على الجذر التكعيبي لـ ٣٢ مضروبًا في الجذر التكعيبي لسالب اثنين؛ يساوي في أبسط صورة سالب نصف.
في المثال التالي سنبسط مقدارًا يتضمن جمع وطرح مقادير جذرية متعددة.
اكتب سالب خمسة مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ١٩٢ زائد خمسة مضروبًا في الجذر التكعيبي لسالب ٦٤٨ زائد الجذر التكعيبي لـ ٣٧٥ في أبسط صورة.
سنبدأ حل هذا السؤال بتبسيط كل حد من الحدود الثلاثة على حدة. سنفعل ذلك باستخدام حقيقة أنه بالنسبة إلى أي عددين حقيقيين ﺃ، ﺏ، نجد أن الجذر التكعيبي لـ ﺃ مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ﺏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ مضروبًا في ﺏ. أكبر مكعب كامل يمكن قسمة العدد ١٩٢ عليه هو٦٤. ومن ثم فإن الجذر التكعيبي لـ ١٩٢ يساوي الجذر التكعيبي لـ ٦٤ مضروبًا في ثلاثة. يمكن كتابة ذلك على صورة الجذر التكعيبي لـ ٦٤ في الجذر التكعيبي لثلاثة، وهو ما يساوي أربعة مضروبًا في الجذر التكعيبي لثلاثة. إذن الحد الأول في المقدار الأساسي الذي لدينا يساوي سالب خمسة مضروبًا في أربعة مضروبًا في الجذر التكعيبي لثلاثة.
يمكننا استخدام العملية نفسها لتبسيط الجذر التكعيبي لسالب ٦٤٨. هذه المرة بما أن سالب ٢١٦ مضروبًا في ثلاثة يساوي سالب ٦٤٨؛ إذن نحصل على الجذر التكعيبي لسالب ٢١٦ مضروبًا في ثلاثة. وباستخدام خاصية حاصل ضرب الجذور التكعيبية ومعرفتنا بالمكعبات الكاملة، نحصل على: سالب ستة مضروبًا في الجذر التكعيبي لثلاثة. ومن ثم فإن الحد الثاني في المقدار الأساسي الذي لدينا يساوي خمسة مضروبًا في هذا المقدار.
بعد ذلك يمكننا إعادة كتابة الجذر التكعيبي لـ ٣٧٥ على صورة الجذر التكعيبي لـ ١٢٥ مضروبًا في الجذر التكعيبي لثلاثة. هذا يساوي خمسة مضروبًا في الجذر التكعيبي لثلاثة. يمكننا الآن تبسيط الحدين الأولين. إذن يمكن تبسيط المقدار بالكامل إلى سالب ٢٠ مضروبًا في الجذر التكعيبي لثلاثة ناقص ٣٠ مضروبًا في الجذر التكعيبي لثلاثة زائد خمسة مضروبًا في الجذر التكعيبي لثلاثة. وأخيرًا بما أن سالب ٢٠ ناقص ٣٠ زائد خمسة يساوي سالب ٤٥، يمكننا استنتاج أن أبسط صورة للمقدار الأساسي هي سالب ٤٥ مضروبًا في الجذر التكعيبي لثلاثة.
الآن سنختم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. رأينا في هذا الفيديو أنه بالنسبة إلى أي عددين حقيقيين ﺃ، ﺏ، نجد أن الجذر التكعيبي لـ ﺃ مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ﺏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ مضروبًا في ﺏ. بالطريقة نفسها، بالنسبة إلى أي عددين حقيقيين ﺃ، ﺏ؛ حيث ﺏ لا يساوي صفرًا، نجد أن الجذر التكعيبي لـ ﺃ على ﺏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ مقسومًا على الجذر التكعيبي لـ ﺏ. وأخيرًا رأينا أنه إذا كان ﺟ عددًا صحيحًا، يمكننا استخدام هذه النتائج لكتابة الجذر التكعيبي لـ ﺟ على صورة: ﺃ مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ﺏ؛ حيث يمثل ﺏ أصغر عدد صحيح موجب، ولا يقبل القسمة على مكعب كامل أكبر من واحد. وهذا يسمى أبسط صورة للجذر التكعيبي لـ ﺟ.
