فيديو السؤال: حساب تغير الكثافة باستخدام معادلة الاستمرارية للموائع الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يسري غاز بانسيابية خلال أنبوب تزداد مساحة مقطعه من 0.10 متر مربع إلى 0.15 متر مربع. يدخل الغاز الأنبوب بسرعة 1.4 متر لكل ثانية ويخرج منه بسرعة 1.2 متر لكل ثانية. كثافة الغاز عند دخوله الأنبوب 0.98 كيلوجرام لكل متر مكعب. ما مقدار الانخفاض في كثافة الغاز فيما بين دخوله الأنبوب وخروجه منه؟

دعونا نبدأ برسم مخطط للأنبوب. كما نلاحظ، يتسع الأنبوب، بدءًا من مساحة المقطع التي سنطلق عليها ‪𝐴‬‏ واحد، وانتهاء بمساحة المقطع التي سنطلق عليها ‪𝐴‬‏ اثنين. يدخل الغاز الأنبوب وهو يتحرك بسرعة سنسميها ‪𝑣‬‏ واحد، ويخرج من الأنبوب بسرعة سنسميها ‪𝑣‬‏ اثنين. عندما يدخل الغاز الأنبوب، تكون له كثافة سنطلق عليها ‪𝜌‬‏ واحد. وعندما يخرج من الأنبوب، تكون له كثافة سنطلق عليها ‪𝜌‬‏ اثنين.

المطلوب منا في هذا السؤال إيجاد مقدار الانخفاض في كثافة الغاز فيما بين دخوله الأنبوب وخروجه منه. لذا علينا حساب قيمة ‪𝜌‬‏ واحد ناقص ‪𝜌‬‏ اثنين. نعلم من معطيات السؤال أن الأنبوب يتسع من مساحة المقطع التي تبلغ 0.10 متر مربع ليصل إلى مساحة المقطع التي تبلغ 0.15 متر مربع. إذن ‪𝐴‬‏ واحد تساوي 0.10 متر مربع، و‪𝐴‬‏ اثنان تساوي 0.15 متر مربع. ولقد علمنا أيضًا أن الغاز يدخل الأنبوب وهو يتحرك بسرعة 1.4 متر لكل ثانية، ويخرج منه بسرعة 1.2 متر لكل ثانية. ومن ثم، فإن ‪𝑣‬‏ واحد تساوي 1.4 متر لكل ثانية، و‪𝑣‬‏ اثنين تساوي 1.2 متر لكل ثانية. وأخيرًا، نعلم أن كثافة الغاز عند دخوله الأنبوب تساوي 0.98 كيلوجرام لكل متر مكعب. إذن، ‪𝜌‬‏ واحد تساوي 0.98 كيلوجرام لكل متر مكعب. ولكننا لا نعلم قيمة كثافة الغاز عند خروجه من الأنبوب. ومن ثم، فإن ‪𝜌‬‏ اثنين مجهولة.

لذا، علينا أولًا حساب قيمة ‪𝜌‬‏ اثنين. سنستخدم معادلة الاستمرارية للموائع لحساب قيمة ‪𝜌‬‏ اثنين، التي تنص على أن حاصل ضرب كثافة المائع في مساحة مقطع الأنبوب الذي يتدفق المائع خلاله في سرعة المائع يساوي ثابتًا. هذا يعني أنه يمكننا كتابة أن كثافة الغاز مضروبة في مساحة مقطع الأنبوب مضروبة في سرعة تدفق الغاز قبل الاتساع تساوي كثافة الغاز مضروبة في مساحة مقطع الأنبوب مضروبة في سرعة تدفق الغاز بعد الاتساع. سنعيد ترتيب هذه المعادلة لنحصل على صيغة لإيجاد ‪𝜌‬‏ اثنين.

سنبدأ بقسمة طرفي المعادلة على ‪𝑣‬‏ اثنين. ونلاحظ أن الحدين ‪𝑣‬‏ اثنين في الطرف الأيمن يحذفان معًا. بعد ذلك، نقسم طرفي المعادلة على ‪𝐴‬‏ اثنين. ومرة أخرى نجد أن الحدين ‪𝐴‬‏ اثنين في الطرف الأيمن يحذفان معًا. وهذا يعطينا صيغة لإيجاد ‪𝜌‬‏ اثنين. عند كتابة ذلك بصورة أكثر ترتيبًا، نحصل على: ‪𝜌‬‏ اثنان تساوي ‪𝐴‬‏ واحد ‪𝑣‬‏ واحد على ‪𝐴‬‏ اثنين ‪𝑣‬‏ اثنين مضروبًا في ‪𝜌‬‏ واحد.

قبل التعويض بأي قيم في هذه المعادلة، علينا أن نلاحظ أن جميع قيم ‪𝐴‬‏ واحد و‪𝑣‬‏ واحد و‪𝐴‬‏ اثنين و‪𝑣‬‏ اثنين و‪𝜌‬‏ واحد مقيسة بالوحدات الأساسية للنظام الدولي للوحدات. ومن ثم، لن يكون علينا تحويل أي منها قبل مواصلة الحل. بمواصلة الحل، نجد أن ‪𝜌‬‏ اثنين تساوي 0.10 متر مربع مضروبًا في 1.4 متر لكل ثانية مقسومًا على 0.15 متر مربع مضروبًا في 1.2 متر لكل ثانية مضروبًا في 0.98 كيلوجرام لكل متر مكعب. بحساب قيمة هذا المقدار، نحصل على: ‪𝜌‬‏ اثنان تساوي 0.76 كيلوجرام لكل متر مكعب بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين. سنكتب ملاحظة بهذا الناتج على اليسار.

الخطوة الأخيرة هي حساب الفرق بين كثافة الغاز عند دخوله الأنبوب وعند خروجه، وهو ما يساوي ‪𝜌‬‏ واحد ناقص ‪𝜌‬‏ اثنين. باستخدام القيمة المعلومة لـ ‪𝜌‬‏ واحد والقيمة المحسوبة لـ ‪𝜌‬‏ اثنين، نجد أن هذا يساوي 0.98 كيلوجرام لكل متر مكعب ناقص 0.76 كيلوجرام لكل متر مكعب، وهو ما يساوي 0.22 كيلوجرام لكل متر مكعب بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين. الإجابة على السؤال: «ما مقدار الانخفاض في كثافة الغاز فيما بين دخوله الأنبوب وخروجه منه؟» هي 0.22 كيلوجرام لكل متر مكعب بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين.