فيديو السؤال: حل معادلات الدوال المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة 𝜃 التي تحقق قتا 𝜃 ناقص جذر اثنين يساوي صفرًا؛ حيث 𝜃 تقع بين صفر و‏𝜋‏ على اثنين.

أولًا، دعونا نتذكر ما يعنيه 𝜃 قتا. نعرف أن قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. والآن يمكننا التعويض بذلك في المعادلة المعطاة في السؤال. فنحصل على واحد على جا 𝜃 ناقص جذر اثنين يساوي صفرًا. وبإضافة جذر اثنين إلى كلا الطرفين، نحصل على واحد على جا 𝜃 يساوي جذر اثنين.

والآن، إذا ضربنا كلا الطرفين في جا 𝜃 ثم قسمناهما على جذر اثنين، فسيتبقى لدينا جا 𝜃 يساوي واحدًا على جذر اثنين. ومن هنا، يمكننا ملاحظة أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جا واحد على جذر اثنين. بكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ‏𝜋‏ على أربعة راديان.

يمكننا التحقق من هذا الحل برسم مثلث قائم الزاوية وبه زاوية قياسها ‏𝜋‏ على أربعة. وبما أن هذا المثلث متساوي الساقين، يمكننا تحديد طولي ضلعين فيه بواحد، وهو ما يعني أن الوتر سيكون طوله جذر اثنين.

والآن، يمكننا استخدام النسب المثلثية لتساعدنا في إيجاد قيمة جا ‏𝜋‏ على أربعة. بما أننا نريد إيجاد جيب الزاوية، فسنحتاج إلى تذكر تعريفات النسب المثلثية. وهذا الاختصار يخبرنا أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. حسنًا، الزاوية التي نريد إيجادها هي ‏𝜋‏ على أربعة. لذا دعونا نطلق عليها 𝜃.

يمكننا الآن تسمية الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر بالنسبة إلى الزاوية 𝜃 هذه. الضلع المجاور هو الضلع الموجود بجانب الزاوية. والضلع المقابل هو الضلع الموجود أمامها. والوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. حسنًا لدينا الآن جا ‏𝜋‏ على أربعة يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. هذا يساوي واحدًا على جذر اثنين. وهذا يتفق مع إجابتنا هنا.

وأخيرًا، علينا فقط التحقق من أن قيمة 𝜃 تقع ضمن المدى بين صفر و‏𝜋‏ على اثنين. لإجراء ذلك، دعونا نرسم تمثيلًا بيانيًّا لدالة الجيب. هذا هو التمثيل البياني الذي يحتوي على المنحنى ﺹ يساوي جا 𝜃. والآن، دعونا نحدد على هذا المنحنى الموضعين عند 𝜃 تساوي صفرًا وعند 𝜃 تساوي ‏𝜋‏ على اثنين. ويمكننا تظليل المنطقة التي نريد استبعادها؛ لأن ما يعنينا هو القيم بين صفر و‏𝜋‏ على اثنين فقط.

والآن نجد أن واحدًا على جذر اثنين يساوي تقريبًا ٠٫٧. لذا، يمكننا استخدام ذلك ليساعدنا في تحديد المستقيم ﺹ يساوي واحدًا على جذر اثنين. وبذلك، نلاحظ أن قيمة 𝜃 هي النقطة التي يتقاطع عندها المستقيم ﺹ يساوي واحدًا على جذر اثنين مع المنحنى ﺹ يساوي جا 𝜃. ويمكننا أن نلاحظ أن هذا يحدث عند النقطة ‏𝜋‏ على أربعة، وهو ما يتفق مع ما أوجدناه سابقًا.

وبذلك نكون قد تأكدنا أن الحل هو 𝜃 تساوي ‏𝜋‏ على أربعة.