فيديو الدرس: قسمة كثيرات الحدود على ذوات الحدين باستخدام التحليل الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نقسم كثيرات الحدود على ذوات الحدين باستخدام التحليل.

١٦:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نقسم كثيرات الحدود على ذوات الحدين باستخدام التحليل. هناك عدة طرق لقسمة المقادير الجبرية. تستخدم إحدى هذه الطرق عملية تعرف باسم «القسمة المطولة لكثيرات الحدود». لكن قد تكون هذه الطريقة بطيئة إلى حد ما. ومن ثم، علينا أن نتحقق دائمًا مما إذا كانت هناك طرق أخرى يمكننا إجراء عملية القسمة باستخدامها. إحدى هذه الطرق هي استخدام التحليل. نبدأ بكتابة عملية القسمة في صورة كسر. بعد ذلك، يمكننا كتابة كل من البسط والمقام على الصورة التحليلية كلما أمكن.

وبمجرد أن نفعل ذلك، يمكننا التبسيط مثلما نبسط أي كسر عددي آخر بالاختزال عن طريق القسمة على عامل مشترك. قبل أن نتابع، تجدر الإشارة إلى أن هذه العملية تعتمد على معرفتنا بكيفية تحليل المقادير الجبرية. وغالبًا ما تكون هذه المقادير من الدرجة الثانية. سنتناول أيضًا كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة، والتي يمكن التعبير عنها كحاصل ضرب ذواتي حدين. لذا، يجب أن تتأكد من أنك على دراية بكيفية تحليل المقادير من هذا النوع قبل الانتقال إلى الخطوة التالية. سنتناول الآن مثالًا بسيطًا.

بسط اثنين ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ ناقص ثلاثة على ﺱ زائد ثلاثة.

في البداية، نتذكر أن خط الكسر هذا يعني القسمة. لذا عند التبسيط، فإننا نتساءل عن كيفية قسمة اثنين ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ ناقص ثلاثة على ﺱ زائد ثلاثة. بمجرد أن نكتب مسألة القسمة في صورة كسر، فإننا نستخدم التحليل حيثما أمكن. لا يمكننا تحليل المقدار الموجود في المقام. لكن يمكننا تحليل البسط. فدعونا نفكر في كيفية تحليل اثنين ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ ناقص ثلاثة. هناك عدة طرق لفعل ذلك. إحدى هذه الطرق تعرف باسم طريقة ﺃﺟ. وهي تسمى بطريقة ﺃﺟ، لأنه عندما يكون لدينا معادلة تربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، فإننا نبدأ بضرب قيمة كل من ﺃ وﺟ. في هذه المعادلة، ﺃ، وهو معامل ﺱ تربيع، يساوي اثنين، وﺟ يساوي سالب ثلاثة. اثنان في سالب ثلاثة يساوي سالب ستة.

الخطوة التالية تشبه خطوة تحليل معادلة تربيعية معامل ﺱ تربيع فيها يساوي واحدًا. نحن نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي سالب ستة ومجموعهما يساوي خمسة. حسنًا، ستة مضروبًا في سالب واحد يساوي سالب ستة. وستة زائد سالب واحد يساوي خمسة. ومن ثم، سنقسم هذا الحد الأوسط إلى ستة ﺱ وسالب واحد ﺱ. نكتب المعادلة التربيعية على الصورة اثنين ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ ناقص واحد ﺱ ناقص ثلاثة. لم نفعل هنا أي خطوة صعبة. فقد أعدنا كتابة المقدار الأصلي فقط. وإذا أردنا تبسيط المقدار في الطرف الأيسر، فسيعيدنا هذا مرة أخرى إلى المقدار في الطرف الأيمن.

الخطوة التالية هي النظر إلى زوجي الحدود. سنحلل كل زوج على حدة. نلاحظ أن اثنين ﺱ تربيع وستة ﺱ بينهما عامل مشترك أعلى أو عامل مشترك أكبر يساوي اثنين ﺱ. إذن، يمكن كتابة اثنين ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ على الصورة اثنين ﺱ في ﺱ زائد ثلاثة. وبالمثل، سالب واحد ﺱ وناقص ثلاثة بينهما عامل مشترك يساوي سالب واحد. لذا، عند تحليل هذا المقدار، نحصل على سالب واحد في ﺱ زائد ثلاثة.

نلاحظ الآن أن كل حد يحتوي على العامل ﺱ زائد ثلاثة. ومن ثم، يمكننا أخذ ﺱ زائد ثلاثة عاملًا مشتركًا. اثنان ﺱ في ﺱ زائد ثلاثة على ﺱ زائد ثلاثة يعطينا اثنين ﺱ. وسالب واحد في ﺱ زائد ثلاثة على ﺱ زائد ثلاثة يعطينا سالب واحد. وبهذا نكون قد حللنا المعادلة التربيعية تحليلًا كاملًا. وأصبحت ﺱ زائد ثلاثة في اثنين ﺱ ناقص واحد. هذا رائع، لأنه أصبح بإمكاننا الآن إعادة كتابة الكسر. لقد عوضنا عن المقدار التربيعي بصورته التحليلية. ونلاحظ أنه يساوي ﺱ زائد ثلاثة في اثنين ﺱ ناقص واحد الكل على ﺱ زائد ثلاثة.

والآن، بعد أن أصبح المقدار على هذه الصورة، يمكننا تبسيط الكسر مثلما نبسط أي كسر عددي بالاختزال عن طريق القسمة على أي من العوامل المشتركة. في هذا السؤال، يمكننا قسمة الحدين على ﺱ زائد ثلاثة. وعندما نفعل ذلك، نجد أن المقدار لدينا يبسط بالكامل إلى اثنين ﺱ ناقص واحد على واحد أو ببساطة اثنين ﺱ ناقص واحد. إذن، إجابة السؤال، أو تبسيط اثنين ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ ناقص ثلاثة على ﺱ زائد ثلاثة، هو اثنان ﺱ ناقص واحد. لقد استخدمنا ما يسمى بطريقة ﺃﺟ لتحليل المقدار التربيعي. ربما تكون معتادًا على استخدام طريقة أخرى. ولا بأس بهذا ما دمت ستحصل في النهاية على ﺱ زائد ثلاثة في اثنين ﺱ ناقص واحد.

سنتناول الآن كيفية إيجاد مقام كسر عند قسمة كثيرة حدود على ذات حدين باستخدام التحليل.

أوجد مقام الكسر في هذه المعادلة: ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ زائد ثمانية على (فراغ) يساوي ﺱ زائد واحد.

دعونا نسمي مقام الكسر بـ ﺹ، حيث سيكون ﺹ دالة في ﺱ. نتذكر بعد ذلك العلاقة بين الكسور والقسمة. الكسر مجرد طريقة أخرى لكتابة القسمة. يطلب منا السؤال قيمة ﺹ التي تجعل ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ زائد ثمانية مقسومًا على ﺹ يساوي ﺱ زائد واحد. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث نجعل ﺹ هو المتغير التابع. أو يمكننا أن نسترجع أنه إذا كان ﺃ مقسومًا على ﺏ يساوي ﺟ، فإن ﺃ مقسومًا على ﺟ يجب أن يساوي ﺏ. وهذا منطقي تمامًا لأننا إذا أعدنا ترتيب كل معادلة، فسنجد أن ﺃ يساوي ﺏ في ﺟ. يمكننا اعتبار ﺏ وﺟ زوجًا من عوامل ﺃ. وهكذا يمكننا أن نقول إن ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ زائد ثمانية مقسومًا على ﺱ زائد واحد يجب أن يساوي ﺹ.

لكن كيف نجري عملية القسمة في الطرف الأيمن؟ هناك عدة طرق، لكن طريقة التحليل هي أكثر طريقة مباشرة. سنحلل المقدار ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ زائد ثمانية. وهناك عدة طرق لذلك. إحدى هذه الطرق تعتمد على الملاحظة. لدينا معادلة تربيعية، ولا توجد عوامل مشتركة باستثناء واحد في كل حد من هذه الحدود. ومن ثم، نعلم أنه يمكننا كتابة المعادلة على صورة حاصل ضرب ذواتي حدين. الحد الأول من ذواتي الحدين يجب أن يكون ثلاثة ﺱ وﺱ؛ لأن ثلاثة ﺱ في ﺱ يعطينا المقدار ثلاثة ﺱ تربيع الذي نريده.

علينا بعد ذلك البحث عن زوج من عوامل العدد ثمانية، مع الوضع في الاعتبار أن أحد هذه العوامل سيضرب في ثلاثة. وحينئذ، عندما نجمع الأعداد، سنحصل على ١١. زوج العوامل الذي يمكننا استخدامه هو ثمانية وواحد. وإذا ضربنا ثلاثة في واحد، فسنحصل على ثلاثة. ثلاثة زائد ثمانية يساوي ١١. ولكي يتحقق ذلك، يجب أن يكون العددان ثمانية وواحد موجبين. وبذلك، نكون قد حللنا المقدار. إنه يساوي ثلاثة ﺱ زائد ثمانية في ﺱ زائد واحد. إذن، يمكننا الآن إعادة كتابة المعادلة على الصورة ثلاثة ﺱ زائد ثمانية في ﺱ زائد واحد الكل على ﺱ زائد واحد يساوي ﺹ.

بما أننا كتبنا المقدار في صورة كسر، فإن الخطوة التالية هي تبسيطه مثلما نبسط أي كسر آخر من خلال القسمة على عامل مشترك. لدينا هنا العامل المشترك ﺱ زائد واحد. ‏ﺱ زائد واحد على ﺱ زائد واحد يساوي واحدًا. وهكذا، نجد أن ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ زائد ثمانية. وبما أننا قلنا إن ﺹ هو مقام الكسر، فإن المقام هو ثلاثة ﺱ زائد ثمانية. هناك طريقة سريعة للتحقق من صحة هذه الإجابة، وهي التأكد من أن حاصل ضرب ﺱ زائد واحد والمقام يساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ زائد ثمانية. وفي الواقع، إذا ضربنا ذواتي الحدين هاتين، فسنحصل على ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ زائد ثمانية.

في المثال التالي، سنتناول كيفية استخدام طريقة مشابهة لمساعدتنا في إيجاد قيمة مجهول.

أوجد قيمة ﻙ التي تجعل المقدار ﺱ تربيع ناقص ﻙﺱ زائد ٣٠ يقبل القسمة على ﺱ ناقص خمسة.

عند قسمة كثيرات الحدود على ذوات الحدين، نبدأ بكتابتهما في صورة كسر، ثم نقوم بالتبسيط قدر الإمكان. إذن، لقسمة ﺱ تربيع ناقص ﻙﺱ زائد ٣٠ على ﺱ ناقص خمسة، نبدأ بكتابة ذلك في صورة الكسر ﺱ تربيع ناقص ﻙﺱ زائد ٣٠ على ﺱ ناقص خمسة. يعني ذلك أنه لكي يصبح المقدار قابلًا للقسمة على ﺱ ناقص خمسة، يمكن تبسيط هذا الكسر. ويمكننا التبسيط بالطبع من خلال القسمة على عامل مشترك. في مقام الكسر، لدينا ﺱ ناقص خمسة. إذن، هذا يشير إلى أن ﺱ ناقص خمسة هو أحد عوامل ﺱ تربيع ناقص ﻙﺱ زائد ٣٠. لذا، علينا كتابة ﺱ تربيع ناقص ﻙﺱ زائد ٣٠ في صورة ذات حدين — أسميته ﺱ زائد ﺃ، حيث ﺃ ثابت — في ﺱ ناقص خمسة.

لكن كيف نحدد قيمة ﺃ؟ نتذكر كيفية تحليل المقادير التربيعية حيث معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا. لدينا ﺱ في بداية كل ذات حدين. نبحث بعد ذلك عن عددين حاصل ضربهما ثابت — وهو هنا العدد ٣٠ — ومجموعهما هو معامل ﺱ. وهو هنا سالب ﻙ. يعطينا هذان العددان الجزأين العدديين من ذواتي الحدين. ولأننا لا نعرف قيمة ﻙ، فيمكننا القول إن ﺃ مضروبًا في سالب خمسة لا بد أن يساوي ٣٠. ومن ثم، نوجد قيمة ﺃ عن طريق القسمة على سالب خمسة. ٣٠ على سالب خمسة يساوي سالب ستة. إذن، ﺃ يساوي سالب ستة.

إذا عوضنا عن ﺃ بسالب ستة — ولننس المقامين في الوقت الحالي لأنهما متساويان بالطبع — فسنلاحظ أن البسطين يجب أن يكونا متساويين. نلاحظ أن ﺱ تربيع ناقص ﻙﺱ زائد ٣٠ يجب أن يساوي ﺱ ناقص ستة في ﺱ ناقص خمسة. إذا فككنا هذين القوسين وبسطنا، فسنحصل على قيمة ﻙ. إذن، نبدأ بضرب الحد الأول في كل من ذواتي الحدين. ‏ﺱ في ﺱ يساوي ﺱ تربيع. ثم نضرب الحدين الخارجيين لنحصل على سالب خمسة ﺱ، ثم نضرب الحدين الداخليين لنحصل على سالب ستة ﺱ. وأخيرًا، نضرب الحدين الأخيرين. سالب ستة في سالب خمسة يساوي ٣٠. وبذلك، نحصل على ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ ناقص ستة ﺱ زائد ٣٠. وبما أن سالب خمسة ﺱ ناقص ستة ﺱ يساوي سالب ١١ﺱ، يصبح لدينا ﺱ تربيع ناقص ١١ﺱ زائد ٣٠.

دعونا نقارن بين طرفي هذه المعادلة. لدينا ﺱ تربيع في كلا الطرفين، ولدينا موجب ٣٠. لذا، يمكننا القول إن هذين الحدين يجب أن يكونا متساويين. أي سالب ﻙﺱ يجب أن يساوي سالب ١١ﺱ. ولكي يتحقق ذلك، لا بد أن يكون ﻙ مساويًا لـ ١١. إذن، قيمة ﻙ التي تجعل المقدار ﺱ تربيع ناقص ﻙﺱ زائد ٣٠ يقبل القسمة على ﺱ ناقص خمسة هي ١١.

سنتناول الآن كيف يمكن أن تساعدنا هذه العملية في حل المسائل الهندسية.

مستطيل مساحته ﺹ تكعيب زائد اثنين ﺹ تربيع زائد خمسة ﺹ زائد ١٠ سنتيمترات مربعة، وعرضه ﺹ زائد اثنين سنتيمتر. أوجد طوله بدلالة ﺹ ومحيطه عند ﺹ يساوي أربعة.

قد يبدو المستطيل بهذا الشكل. نعلم أن عرض المستطيل يساوي ﺹ زائد اثنين سنتيمتر، ونريد إيجاد طوله بدلالة ﺹ. سنرمز إلى طوله بـ ﺱ سنتيمتر، حيث سيكون ﺱ دالة في ﺹ. نعلم أن مساحة المستطيل تساوي عرضه مضروبًا في طوله. إذن، مساحة المستطيل هنا تساوي ﺹ زائد اثنين في ﺱ. فلنكتب ذلك على الصورة ﺱ في ﺹ زائد اثنين. لكن لدينا بالفعل تعبير لمساحة المستطيل. وهو ﺹ تكعيب زائد اثنين ﺹ تربيع زائد خمسة ﺹ زائد ١٠. ومن ثم، يصبح لدينا معادلة يمكننا حلها أو على الأقل يمكننا جعل ﺱ متغيرًا تابعًا.

نجعل ﺱ متغيرًا تابعًا من خلال قسمة الطرفين على ﺹ زائد اثنين. في الطرف الأيسر، يتبقى لنا ﺱ. لكن ماذا يحدث للطرف الأيمن؟ حسنًا، سنكتبه الآن في صورة كسر، لأن خط الكسر يعني ببساطة القسمة. وإحدى أفضل الطرق لتبسيط الكسر، وهو ما يماثل عملية القسمة، هي البدء بالتحليل حيثما أمكن. هيا نحلل المقدار ﺹ تكعيب زائد اثنين ﺹ تربيع زائد خمسة ﺹ زائد ١٠. للقيام بذلك، نبدأ بتحليل زوجي الحدود. عند تحليل ﺹ تكعيب زائد اثنين ﺹ تربيع، نحصل على ﺹ تربيع في ﺹ زائد اثنين.

وبالمثل، عند تحليل خمسة ﺹ زائد ١٠، نحصل على خمسة في ﺹ زائد اثنين. نعلم أن هناك عاملًا مشتركًا، وهو ﺹ زائد اثنين في كلا الحدين. لذا، يمكننا التحليل بإخراج العامل ﺹ زائد اثنين. ‏ﺹ تربيع في ﺹ زائد اثنين على ﺹ زائد اثنين يساوي ﺹ تربيع. وعندما نقسم الحد الثاني، أي خمسة في ﺹ زائد اثنين، على ﺹ زائد اثنين، يتبقى لنا خمسة. يعني هذا أنه يمكننا إعادة كتابة الكسر على الصورة ﺹ زائد اثنين في ﺹ تربيع زائد خمسة على ﺹ زائد اثنين. نلاحظ الآن أن هناك عاملًا مشتركًا وهو ﺹ زائد اثنين في بسط الكسر ومقامه. ومن ثم، نقسم كلًّا من البسط والمقام على ﺹ زائد اثنين. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﺱ يساوي ﺹ تربيع زائد خمسة.

تذكر أننا قلنا إن طول المستطيل يساوي ﺱ سنتيمتر. ولقد أوجدنا أن الطول بدلالة ﺹ يساوي ﺹ تربيع زائد خمسة سنتيمتر. لكننا لم ننته بعد. يطلب منا السؤال إيجاد محيط هذا المستطيل عند ﺹ يساوي أربعة. سنعوض إذن بـ ﺹ يساوي أربعة في تعبيري العرض والطول. إذن، العرض يساوي أربعة زائد اثنين، أي ستة سنتيمترات. والطول يساوي أربعة تربيع زائد خمسة، وهو ما يعطينا ٢١ سنتيمترًا. المحيط هو المسافة الكلية المحيطة بالمستطيل من الخارج. لذا، نجمع ٢١ و٦، ثم نضرب ذلك في اثنين لتمثيل الضلعين الآخرين. ٢١ زائد ستة يساوي ٢٧، و٢٧ في اثنين يساوي ٥٤. إذن، محيط المستطيل يساوي ٥٤ سنتيمترًا.

في هذا الفيديو، عرفنا أنه لقسمة كثيرات الحدود على ذوات الحدين، فإن إحدى الطرق الأكثر كفاءة هي استخدام التحليل. عند استخدام هذه الطريقة، علينا أولًا كتابة عملية القسمة في صورة كسر. المقسوم، أي المقدار الذي نقسمه، هو بسط الكسر. والمقسوم عليه، أي المقدار الذي نقسم عليه، هو المقام. نقوم بعد ذلك بالتحليل حيثما أمكن. وفي هذا الفيديو، حللنا البسوط بشكل أساسي. لكن هناك حالات أخرى علينا فيها تحليل المقام أيضًا. وبمجرد أن نفعل ذلك، نبحث عن أي عوامل مشتركة نقسم عليها. وهذا يماثل تبسيط أي كسر اعتيادي. وبالتبسيط تبسيطًا كاملًا، نكون قد أجرينا عملية القسمة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.