فيديو الدرس: حل أنظمة المتباينات الخطية

نسخة الفيديو النصية

تمثيل متباينات ذات متغيرين بيانيًا

بمعلومية هذه المتباينة، يمكننا القول إن ﺹ أكبر من أو يساوي ثلاثة ﺱ ناقص واحد. إذن، الطريقة التي سنرسم بها هذه المتباينة هي أننا سنفترض بشكل أساسي أننا نرسم شيئًا بديلًا. ولنفترض أننا نرسم الخط المستقيم ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص واحد. إذن، أول ما سنحتاجه هو جدول للقيم. حسنًا، علينا اختيار ثلاثة إحداثيات. الإحداثيات المفضلة لدي هي: سالب واحد، وصفر، وواحد. ويمكن أن يزيد ذلك عن ثلاث قيم، ولكنه لا يمكن أن يقل مطلقًا عن ثلاثة. إذن، سنأخذ كل إحداثي ﺱ من هذه الإحداثيات التي اخترناها الآن ونعوض به في الدالة لنحصل على قيمة ﺹ.

في الإحداثي الأول، نكتب ﺹ يساوي ثلاثة مضروبًا في سالب واحد ناقص واحد. حسنًا، ثلاثة مضروبًا في سالب واحد يساوي سالب ثلاثة. وبطرح واحد من ذلك، نحصل على سالب أربعة. ثم لدينا صفر، ونعلم أن ثلاثة في صفر يساوي صفرًا. إذن، صفر ناقص واحد يساوي سالب واحد. وأخيرًا، بالتعويض بواحد عن الإحداثي ﺱ، سيصبح لدينا ثلاثة مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي ثلاثة، ناقص واحد يساوي اثنين.

إذن لدينا الآن بعض الإحداثيات. وهذه الإحداثيات هي: سالب واحد، سالب أربعة؛ وصفر، سالب واحد؛ وواحد، اثنان. لقد حصلنا على كل من هذه الإحداثيات بالنظر جيدًا إلى إحداثيات ﺱ في جدول القيم وإحداثيات ﺹ، وبتحديد قيمة ﺱ وقيمة ﺹ، لإيجاد كل زوج إحداثي في هذه المجموعة. والآن علينا تمثيل هذا بيانيًا. ولكن علينا هنا الانتباه جيدًا إلى أنها متباينة.

وبرسم كل نقطة من هذه النقاط، نحصل على: سالب واحد، سالب أربعة؛ وصفر، سالب واحد؛ وواحد، اثنين. والآن نجد أن هذه المتباينة عبارة عن متباينة تتضمن «أو يساوي»، كما نرى هنا. إذن ما يعنيه هذا هو أنه عندما يتعلق الأمر برسم التمثيل البياني، يجب أن يكون لدينا خط مستقيم متصل، لا خط متقطع. وذلك لأن الخط المتقطع يمثل متباينة تتضمن «أكبر من» أو «أصغر من» فقط، أما بالنسبة للخط المستقيم المتصل، فذلك يشمل أيضًا «أو يساوي». وعليه، إذا كنت تذكر رسم المتباينات على خط الأعداد، فإننا نضع دائرة مفرغة في الحالة التي يكون فيها لدينا «أكبر من» و/أو «أصغر من»، ودائرة مصمتة في حالة «أو يساوي».

وعلى أية حال، بالرجوع إلى رأس المسألة يمكننا أن نلاحظ أن لدينا «أو يساوي»، ومن ثم لا بد أن يكون لدينا خط مستقيم متصل. هذا ما فعلته سابقًا. أما بالنسبة إلى المتباينات ذات المتغيرين، فإنها تختلف عن المتباينات الخطية البسيطة، فلا يمكننا القول: «حسنًا، هذا يعني تظليل هذه المنطقة». بل علينا إجراء بعض الاختبارات. إذن، سنختبر المنطقة العلوية والمنطقة السفلية من الخط المستقيم، ونرى أيهما تحقق هذه المتباينة. ماذا لو اختبرنا النقطة: خمسة، خمسة بالأسفل، وكذلك النقطة: سالب خمسة، ١٠ بالأعلى. في الواقع، يمكننا اختيار أي نقطة. لكن علينا فقط أن نتحقق مما إذا كانت هاتان النقطتان ستحققان المتباينة. إذن لدينا ﺹ يساوي ١٠، فنضع ١٠ أكبر من أو يساوي ثلاثة مضروبًا في قيمة ﺱ؛ وهي: سالب خمسة، ناقص واحد. حسنًا، نعرف أن ثلاثة مضروبًا في سالب خمسة يساوي سالب ١٥، وأن سالب ١٥ ناقص واحد يساوي سالب ١٦. إذن ١٠ أكبر من أو يساوي سالب ١٦. إذن، فالمنطقة العلوية تحقق المتباينة. لكننا لن نسلم بهذا كإجابة ونقول: «حسنًا، ها قد انتهينا. سأظلل المنطقة العلوية، بما أنها تحقق المتباينة»؛ لأن علينا أن نفترض دائمًا أننا ربما قد ارتكبنا خطأ ما. إذن، دعونا نتحقق باختبار المنطقة السفلية، ومن المفترض أن يكون خطأ؛ حيث من المفترض أنها لا تحقق المتباينة.

لدينا خمسة أكبر من أو يساوي ثلاثة مضروبًا في خمسة ناقص واحد. حسنًا، ثلاثة مضروبًا في خمسة يساوي ١٥، وبطرح واحد نحصل على ١٤. وبالتالي، ليس صحيحًا أن خمسة أكبر من أو يساوي ١٤. ومن ثم، نعرف أن المنطقة السفلية لا تحقق المتباينة، وهو ما أردناه بالضبط. يمكننا إذن تظليل المنطقة التي تحقق المتباينة، وهي المنطقة العلوية. والآن، ظللنا المنطقة الصحيحة برسم الخط المستقيم ثم اختبار ما أعلاه وما أسفله. والآن هناك أمر واحد يجب توفره لكي نتمكن من إنشاء جدول للقيم، وهو أن المتباينة لا بد أن تكون على الصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، وهو ما نلاحظ أنه غير متحقق في هذه المسألة.

ففي هذه المسألة، علينا أولًا كتابة المتباينة على الصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ.

إذن، علينا في المقام الأول إعادة الترتيب لكي نعزل ﺹ ليصبح المتغير التابع للدالة. وما سنفعله أولًا هو طرح اثنين ﺱ من كلا الطرفين. هذا يعطينا في الطرف الأيمن ثلاثة ﺹ، وذلك أصغر من أو يساوي سبعة ناقص اثنين ﺱ في الطرف الأيسر. ومن ثم، نلاحظ أن هذا ليس ما نريده. نريد أن يكون هذا ﺹ فقط، أصغر من أو يساوي. إذن علينا أن نقسم كلا الطرفين على ثلاثة، فنحصل بذلك على ﺹ أصغر من أو يساوي سبعة ناقص اثنين ﺱ، الكل مقسوم على ثلاثة. وعلى الرغم من أن هذه ليست الصورة التي نريدها بالضبط، نلاحظ وجود عدد ما ومعامل ﺱ في الطرف الأيسر مع وجود ﺹ بمفرده في الطرف الأيمن.

إذن يمكننا استخدام هذا لإنشاء جدول للقيم وتمثيل ذلك بيانيًا. إذن، بالتعويض بسالب واحد في المعادلة، نحصل على ﺹ أصغر من أو يساوي سبعة ناقص اثنين في سالب واحد، الكل مقسوم على ثلاثة. الإشارتان السالبتان في البسط تصبحان إشارة موجبة، إذن لدينا سبعة زائد اثنين يساوي تسعة، مقسومًا على ثلاثة، وهو ما يعطينا الناتج ثلاثة. ثم بالتعويض بصفر وواحد، نحصل على بعض الكسور مثل: سبعة على ثلاثة، وخمسة على ثلاثة. هذا يعطينا إذن بعض الإحداثيات وهي: سالب واحد، ثلاثة؛ وصفر، سبعة على ثلاثة؛ وواحد، خمسة على ثلاثة. هذه الأعداد ليست أفضل إحداثيات لرسمها، لكن يمكننا بالتأكيد استخدامها. وعند تمثيل هذا بيانيًا، فإننا نحصل على ذلك.

وأخيرًا، علينا اختبار المنطقة العلوية، واختبار المنطقة السفلية. سنختار: خمسة، خمسة بالأعلى؛ وسالب خمسة، سالب خمسة بالأسفل. وتيسيرًا للأمر، دعونا نستخدم المتباينة الأصلية. حسنًا، لدينا ثلاثة مضروبًا في خمسة، وهو ما يساوي ١٥. زائد اثنين مضروبًا في خمسة، وهو ما يساوي ١٠. وذلك أصغر من أو يساوي سبعة، وهذا ليس صحيحًا. إذن، المنطقة العلوية لا تحقق المتباينة. علينا اختبار المنطقة السفلية.

مرة أخرى، باستخدام المتباينة الأصلية، لدينا ثلاثة مضروبًا في سالب خمسة، وهو ما يساوي سالب ١٥. زائد اثنين مضروبًا في سالب خمسة، وهو ما يساوي سالب ١٠. وهذا أصغر من أو يساوي سبعة. إذن، المنطقة السفلية تحقق المتباينة. وهكذا، فإنه لتظليل المنطقة التي تحقق المتباينة، علينا أن نظلل المنطقة أسفل الخط المستقيم.

وها قد ظللناها الآن. بذلك نكون قد انتهينا من المتباينات ذات المتغيرين. وأهم ما في الأمر هو أن نتذكر الرسم بالاستعانة بجدول قيم، وأن نتحقق من المنطقة أعلى الخط المستقيم وأسفله، حتى نتمكن من معرفة المنطقة التي يجب تظليلها.