نسخة الفيديو النصية
يتحرك جسيم على المحور ﺱ، وعند الزمن ﻥ ثانية كانت إزاحته من نقطة الأصل تعطى بالعلاقة ﺱ يساوي ١٠ جا اثنين ﻥ متر، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. أوجد عجلة الجسيم عند ﺱ يساوي سالب خمسة أمتار.
لدينا هنا دالة تعبر عن الإزاحة عند الزمن ﻥ ثانية. ومطلوب منا إيجاد عجلة الجسيم. قبل أن نتمكن من إيجاد قيمة العجلة عند ﺱ يساوي سالب خمسة أمتار، سنوجد ببساطة تعبيرًا لعجلة الجسيم. سنبدأ بتذكر أن السرعة هي التغير في الإزاحة بالنسبة إلى الزمن. وبدلالة المشتقات، يمكننا القول إن ﻉ يساوي ﺩﺱ على ﺩﻥ. وبالمثل، العجلة هي التغير في السرعة بالنسبة إلى الزمن. وبدلالة المشتقات، تكون ﺩﻉ على ﺩﻥ. وبما أن ﻉ يساوي ﺩﺱ على ﺩﻥ، يمكننا كتابة العجلة أيضًا على الصورة ﺩ اثنين ﺱ على ﺩﻥ تربيع.
حسنًا، علمنا أن ﺱ يساوي ١٠ جا اثنين ﻥ. دعونا نشتق ذلك مرتين بالنسبة إلى ﻥ لإيجاد تعبير للعجلة. إننا نعلم أن مشتقة جا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ جتا ﺃﺱ؛ حيث ﺃ ثابت حقيقي، وﺱ مقيس بالراديان. وبما أن ﺱ يساوي ١٠ جا اثنين ﻥ، يمكننا القول إن ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ١٠ في اثنين جتا اثنين ﻥ؛ أي ٢٠ جتا اثنين ﻥ.
سنشتق مرة أخرى لإيجاد تعبير للعجلة. لكننا هذه المرة نعلم أن مشتقة جتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي سالب ﺃ جا ﺃﺱ. إذن، المشتقة الثانية لـ ﺱ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ٢٠ في سالب اثنين جا اثنين ﻥ، وهو ما يساوي سالب ٤٠ جا اثنين ﻥ.
يطلب منا السؤال إيجاد قيمة ذلك عند ﺱ يساوي سالب خمسة. إذن، علينا إيجاد قيمة ﻥ في هذه المرحلة. وعليه، سنرجع إلى المعادلة الأصلية. سنجعل ﺱ يساوي سالب خمسة، وسنحل لإيجاد قيمة ﻥ. سنقسم الطرفين على ١٠. نحن نعرف أن سالب خمسة مقسومًا على ١٠ يساوي سالب نصف. إذن، المعادلة لدينا هي: سالب نصف يساوي جا اثنين ﻥ. بعد ذلك، نحسب الدالة العكسية للجيب لكلا الطرفين، ويصبح لدينا اثنان ﻥ يساوي الدالة العكسية لـ جا سالب نصف. الدالة العكسية لـ جا سالب نصف هي سالب 𝜋 على ستة. إذن، لدينا اثنان ﻥ يساوي سالب 𝜋 على ستة.
يمكننا استخدام هذا لإيجاد قيمة ﻥ. لكن إذا عدنا إلى التعبير الذي لدينا للعجلة، فسنلاحظ أننا سنعوض باثنين ﻥ على أي حال. وبذلك، نجد أن مشتقة ﺱ الثانية بالنسبة إلى ﻥ، التي نعلم أنها العجلة، تساوي سالب ٤٠ جا سالب 𝜋 على ستة، وهو ما يساوي سالب ٤٠ في سالب نصف؛ أي ٢٠. إذن عند ﺱ يساوي سالب خمسة أمتار، فإن عجلة الجسم تساوي ٢٠ مترًا لكل ثانية مربعة.
