نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻉ يساوي سالب خمسة زائد تسعة ﺕ، فأوجد السعة الأساسية للعدد ﻉ لأقرب منزلتين عشريتين.
في هذا السؤال، لدينا العدد المركب ﻉ في الصورة الجبرية، ومطلوب منا إيجاد السعة الأساسية للعدد المركب ﻉ. وعلينا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.
للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر المقصود بسعة العدد المركب ﻉ ومعنى أن تكون هذه السعة هي السعة الأساسية. أولًا، نقول إن سعة العدد المركب ﻉ تساوي 𝜃 عندما تكون 𝜃 هي الزاوية التي يصنعها ﻉ مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي على مخطط أرجاند.
هناك بضعة أمور حول هذا التعريف تجدر الإشارة إليها. أولًا، عندما نذكر الزاوية التي يصنعها ﻉ مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي على مخطط أرجاند، فنحن نعني الزاوية التي يصنعها شعاع من نقطة الأصل إلى ﻉ مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي. لكن، قد يكون من الأسهل التفكير فيها على أنها الزاوية التي يصنعها ﻉ فقط.
عندما نقيس هذه الزاوية، فإننا نقيسها عكس اتجاه دوران عقارب الساعة لتكون موجبة، ونقيسها في اتجاه دوران عقارب الساعة لتكون سالبة. وكما هو الحال مع أي زاوية تقاس بهذه الطريقة، ستكون هناك زوايا متعددة تعطي القيمة نفسها. ولتجنب ذلك، نستخدم ما يعرف باسم «السعة الأساسية للعدد المركب». نقول إن 𝜃 هي السعة الأساسية للعدد المركب ﻉ، عندما تكون 𝜃 أكبر من سالب 𝜋 وأقل من أو تساوي 𝜋، إذا قيست بالراديان، أو تكون أكبر من سالب ١٨٠ درجة وأقل من أو تساوي ١٨٠ درجة إذا قيست بالدرجات.
يمكننا الآن استخدام هذه المعلومات لإيجاد السعة الأساسية للعدد المركب ﻉ. سنبدأ برسم ذلك على مخطط أرجاند. تذكر أن المحور الأفقي في مخطط أرجاند يمثل الجزء الحقيقي من العدد المركب، والمحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي منه. نريد تمثيل العدد المركب ﻉ يساوي سالب خمسة زائد تسعة ﺕ على مخطط أرجاند.
علينا إذن إيجاد الجزأين الحقيقي والتخيلي من هذا العدد. يمكننا فعل ذلك لأن العدد ﻉ معطى في الصورة الجبرية. وهي ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان. الجزء الحقيقي من العدد ﻉ هو قيمة ﺃ. فهو الثابت الذي يكون بمفرده؛ أي سالب خمسة هنا. والجزء التخيلي من العدد ﻉ هو معامل ﺕ، أي تسعة. يمكننا استخدام ذلك لتمثيل العدد ﻉ على مخطط أرجاند. وينبغي أن يكون الإحداثي الأفقي له هو سالب خمسة، والإحداثي الرأسي هو تسعة.
نريد الآن رسم السعة الأساسية لـ ﻉ على المخطط. ولفعل ذلك، نبدأ بتوصيل ﻉ بنقطة الأصل بواسطة شعاع. تذكر أن سعة العدد ﻉ هي السعة التي يصنعها هذا الشعاع مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي. والزاوية التي نريد إيجادها، أي 𝜃، تكون كما هو موضح. نلاحظ أنه بما أن قيمة 𝜃 تقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، فستكون موجبة.
في الواقع، هناك عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة 𝜃. وتتضمن جميع هذه الطرق استخدام بعض قوانين حساب المثلثات. أسهل طريقة هي القيام بذلك مباشرة من المخطط. سنوجد قيمة الزاوية 𝛼. ويمكننا إيجاد قياس الزاوية 𝛼 بتكوين المثلث القائم الزاوية التالي. ارتفاع هذا المثلث القائم الزاوية هو مقياس الجزء التخيلي من العدد ﻉ، أي تسعة. وعرض هذا المثلث القائم الزاوية هو مقياس الجزء الحقيقي من العدد ﻉ. وهو خمسة. إذن، في هذا المثلث القائم الزاوية، نعرف طول الضلع المقابل للزاوية 𝛼 وطول الضلع المجاور لها. كما نعلم أيضًا باستخدام حساب المثلثات، أن ظا 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل للزاوية مقسومًا على طول الضلع المجاور لها في المثلث القائم الزاوية.
ظا 𝛼 هنا يساوي تسعة على خمسة. ويمكننا إيجاد قيمة 𝛼 بأخذ الدالة العكسية للظل لكلا الطرفين. 𝛼 تساوي الدالة العكسية للظل لتسعة على خمسة. وسنوجد هذه القيمة بالدرجات. نجد أن 𝛼 يساوي ٦٠٫٩٤٥. وأخيرًا، يمكننا إيجاد قيمة 𝜃 بالنظر إلى المخطط. نعلم أن الزاوية 𝛼 زائد الزاوية 𝜃 تكون خطًّا مستقيمًا. وهذا يساوي ١٨٠ درجة. وعليه، فإن 𝜃 تساوي ١٨٠ درجة ناقص 𝛼، ويمكننا حساب ذلك، وهو ما يساوي ١١٩٫٠٥٤.
يطلب منا السؤال تقريب الإجابة إلى أقرب منزلتين عشريتين. وللقيام بذلك، ننظر إلى المنزلة العشرية الثالثة في المفكوك، وهي تساوي أربعة، لتحديد ما إذا كان علينا التقريب لأعلى أو لأسفل. بما أن أربعة أقل من خمسة، فعلينا التقريب لأسفل. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. بذلك نكون قد تمكنا من إيجاد السعة الأساسية لـ ﻉ يساوي سالب خمسة زائد تسعة ﺕ لأقرب منزلتين عشريتين. وهي ١١٩٫٠٥ درجة.
