فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة كثيرة الحدود الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي خمسة ﺱ تربيع زائد اثنين مضروبًا في تسعة ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ زائد أربعة.

أول ما علينا فعله في هذا النوع من المسائل هو فك الأقواس. وذلك قبل القيام بأي اشتقاق. بداية، لدينا خمسة ﺱ تربيع مضروب في تسعة ﺱ تكعيب. سيعطينا هذا ٤٥ﺱ أس خمسة. ذلك لأننا إذا ضربنا خمسة في تسعة، فإننا نحصل على ٤٥. ثم، نطبق أحد قوانين الأسس. وهو أنه إذا كان لدينا ﺱ أس ﺃ في ﺱ أس ﺏ، حيث لدينا نفس الأساسات هنا، فإن ما نفعله هو أن نجمع الأسس.

في هذه المسألة، لدينا ﺱ تربيع في ﺱ تكعيب. إذن نجمع اثنين وثلاثة، وهو ما يعطينا ﺱ أس خمسة. وبذلك، نحصل على ٤٥ﺱ أس خمسة. ثم، لدينا خمسة ﺱ تربيع في ستة ﺱ، ما يعطينا ٣٠ﺱ تكعيب. ثم، خمسة ﺱ تربيع في أربعة، ما يعطينا ٢٠ﺱ تربيع.

فالآن، ما سنفعله هو أننا سنضرب ثاني قوسين في الحد موجب اثنين الموجود في أول قوسين. ومن ثم، نحصل على زائد ١٨ﺱ تكعيب. وذلك لأن لدينا اثنين مضروبًا في تسعة ﺱ تكعيب. ثم، زائد ١٢ﺱ لأن لدينا اثنين مضروبًا في ستة ﺱ. ثم أخيرًا، زائد ثمانية. وذلك لأن لدينا اثنين مضروبًا في أربعة.

وهكذا، تصبح الدالة لدينا على هذه الصورة. ما نريد فعله الآن هو تجميع أي حدود متشابهة. لكن الحدود المتشابهة التي لدينا هي حدود ﺱ تكعيب فقط. لدينا ٣٠ﺱ تكعيب و١٨ﺱ تكعيب، ما يعطينا ٤٨ﺱ تكعيب. إذن لدينا ٤٥ﺱ أس خمسة زائد ٤٨ﺱ تكعيب زائد ٢٠ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ زائد ثمانية.

وبالتالي، ما سنفعله هو اشتقاق هذا لإيجاد المشتقة الأولى. الحد الأول سيكون ٢٢٥ﺱ أس أربعة. ذكرنا فقط كيف فعلنا ذلك. كيف نقوم بالاشتقاق. سنضرب الأس في المعامل. إذن لدينا خمسة في ٤٥، ما يعطينا ٢٢٥. ثم، نقلل الأس بمقدار واحد، إذن خمسة ناقص واحد، ما يعطينا أربعة. وبذلك، نحصل على ٢٢٥ﺱ أس أربعة.

ثم، باستخدام نفس الطريقة، نحصل على الحد الثاني، وهو ١٤٤ﺱ تربيع. ذلك لأن حاصل ضرب ثلاثة في ٤٨ يساوي ١٤٤. ثم، نقلل القوة أو الأس من ثلاثة إلى اثنين. ومن ثم، الحد التالي يساوي ٤٠ﺱ. ذلك لأننا قللنا الأس بمقدار واحد ليعطينا ﺱ، حيث إنه ﺱ أس واحد. وضربنا اثنين في ٢٠، ما يعطينا ٤٠. ثم، الحد الأخير يساوي ١٢. وذلك لأننا إذا اشتققنا ١٢ﺱ، نحصل على ١٢ فقط؛ لأنه إذا قللنا أس ﺱ من واحد إلى صفر، يعطينا ذلك ﺱ أس صفر، وهو ما يساوي واحدًا. وإذا اشتققنا ثمانية، نحصل على صفر.

وبالتالي، يمكن القول: إن المشتقة الأولى للدالة ﺹ تساوي خمسة ﺱ تربيع زائد اثنين مضروبًا في تسعة ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ زائد أربعة تساوي ٢٢٥ﺱ أس أربعة زائد ١٤٤ﺱ تربيع زائد ٤٠ﺱ زائد ١٢.