فيديو السؤال: إيجاد قيمة حد في متتابعة حسابية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة ﺡ٤٥ في المتتابعة الحسابية ١٨، ٢٦، ٣٤ حتى ٦٩٨؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا.

سنبدأ باسترجاع ما نعنيه بالمتتابعة الحسابية. إنها تسلسل عددي يكون فيه الفرق بين أحد الحدود والحد الذي يليه ثابتًا. في هذا السؤال، نريد إيجاد قيمة ﺡ٤٥. بعبارة أخرى، نريد إيجاد الحد رقم ٤٥ في المتتابعة. حسنًا، إحدى طرق كتابة المتتابعة هي إضافة الفرق المشترك في كل مرة حتى نصل إلى الحد رقم ٤٥. لكن هذه الطريقة قد تتسبب في مشكلة لسببين. أولًا، إنها طريقة طويلة جدًّا. وثانيًا، مع هذا العدد الكبير من العمليات الحسابية، يزداد احتمال ارتكاب أخطاء.

لذا، بدلًا من ذلك، سنبدأ بحساب الحد النوني في المتتابعة. هذه هي القاعدة التي ستمكننا من إيجاد أي حد في المتتابعة بمعلومية رقم الحد. وهناك طريقتان لحساب ذلك. سنتناول كلتيهما. تتضمن الطريقة الأولى استخدام صيغة. ويمكن كتابتها بعدة طرق. لكننا سنكتبها على الصورة ﺡﻥ يساوي ﺡ واحد زائد ﻥ ناقص واحد في ﺩ. حسنًا، من المنطقي أن يكون ﺡ واحد هو الحد الأول؛ لأن ﻥ هو رقم الحد. أما بالنسبة إلى ﺩ، فهو الفرق المشترك بين كل حدين متتاليين.

أول ثلاثة حدود في المتتابعة هي ١٨ و٢٦ و٣٤. نلاحظ هنا أن الحد الأول في المتتابعة هو ١٨. لذا، نقول إن ﺡ واحد يساوي ١٨. يمكن إيجاد الفرق المشترك إذن بطرح كل حد من الحد الذي يليه. ‏٢٦ ناقص ١٨ يساوي ثمانية. و٣٤ ناقص ٢٦ يساوي ثمانية، وهكذا. إذن الفرق المشترك ﺩ يساوي ثمانية. بالتعويض بالقيم التي نعرفها في الصيغة، يمكننا قول إن ﺡﻥ يساوي ١٨ زائد ﻥ ناقص واحد في ثمانية. لكن، كما هو متعارف عليه، فإننا نضع العدد ثمانية قبل ﻥ ناقص واحد. وبذلك، نكون قد حصلنا على الحد النوني. إنه يعطى بالصيغة ﺡﻥ يساوي ١٨ زائد ثمانية في ﻥ ناقص واحد.

يطلب منا السؤال إيجاد قيمة ﺡ٤٥. وهذا هو الحد رقم ٤٥. ومن ثم، نجد أن ﻥ يساوي ٤٥. ويصبح لدينا ﺡ٤٥ يساوي ١٨ زائد ثمانية في ٤٥ ناقص واحد، وهو ما يساوي ١٨ زائد ثمانية في ٤٤. ثمانية في أربعة يساوي ٣٢. وثمانية في ٤٠ يساوي ٣٢٠. ‏٣٢٠ زائد ٣٢ يساوي ٣٥٢. وبذلك، نجد أن ﺡ٤٥ يساوي ١٨ زائد ٣٥٢، وهو ما يساوي ٣٧٠. إذن، بإيجاد الحد النوني باستخدام الصيغة ﺡﻥ يساوي ﺡ واحد زائد ﻥ ناقص واحد ﺩ، أوجدنا الحد رقم ٤٥. ‏ﺡ٤٥ يساوي ٣٧٠.

بالنسبة إلى الطريقة الثانية، فإن الأسلوب المتبع بها مختلف قليلًا. سنبدأ أيضًا بإيجاد الفرق بين الحدود. ومرة أخرى، نجد أنه يساوي ثمانية. هذه المتتابعة تشبه قليلًا جدول الضرب في ثمانية. لذلك، فإن الجزء الأول من الحد النوني سيكون ثمانية ﻥ. بعد ذلك، نكتب جدول الضرب في ثمانية أعلى حدود المتتابعة. وبذلك، يكون الحد الأول هو ثمانية. والثاني هو ١٦. والثالث هو ٢٤.

نلاحظ بعد ذلك أنه للانتقال من كل حد في جدول الضرب في ثمانية إلى حدود المتتابعة، علينا إضافة ١٠. إذن، نستنتج أن الحد النوني، أي ﺡﻥ، يساوي ثمانية ﻥ زائد ١٠. مرة أخرى، نعوض بـ ﻥ يساوي ٤٥ في الصيغة لدينا. وبذلك نحصل على ثمانية في ٤٥ زائد ١٠. وثمانية في ٤٥ يساوي ٣٦٠. إذن ﺡ٤٥ يساوي ٣٦٠ زائد ١٠، وهو ما يساوي ٣٧٠. لاحظ هنا أننا حصلنا على الإجابة نفسها باستخدام طريقة مختلفة قليلًا.

في الحالتين، ﺡ٤٥ يساوي ٣٧٠.