فيديو الدرس: المستقيمات المتوازية والقواطع: علاقات أخرى الرياضيات • الصف الأول الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف نطبق علاقات الزوايا بين مستقيمين متوازيين وقاطع لوضع علاقات أخرى بين المستقيمات المتوازية والقواطع، واستخدامها. هناك العديد من الاستخدامات لعلاقات الزوايا بين المستقيمات المتوازية والقواطع. يتمثل الاستخدام الأكثر شيوعًا في إيجاد قياسات الزوايا الأخرى باستخدام نتائج مثل تطابق زاويتين متبادلتين داخليًّا. لكن هناك استخدامات أخرى أيضًا؛ مثل إثبات العلاقات بين قواطع المستقيمات.

لكي نفهم هذا عمليًّا دعونا أولًا نتذكر أن قاطع أي مستقيمين متوازيين يصنع زوايا متناظرة متطابقة. هذه نتيجة مفيدة؛ حيث يمكننا استخدامها لإيجاد قياسات الزوايا المحصورة بين مستقيمين باستخدام قياس الزاوية المحصورة بين أحد المستقيمين والمستقيم الموازي له. على وجه التحديد إذا كان المستقيم ﺃﺏ عموديًّا على مستقيم آخر، ﻫﻭ، فإننا نعلم أن أي مستقيم مواز للمستقيم ﺃﺏ يجب أن يكون قياس الزاوية المناظرة به ٩٠ درجة. هذا يعطينا النتيجة الآتية. إذا كان هناك مستقيم عمودي على المستقيم ﺃﺏ، فإنه يكون عموديًّا على أي مستقيم مواز للمستقيم ﺃﺏ. وهذه ليست الخاصية الوحيدة التي يمكننا توضيحها باستخدام خواص القواطع.

لعلنا نتذكر أن قاطع أي مستقيمين متوازيين يصنع زوايا متناظرة متطابقة. يمكننا أيضًا تذكر أنه إذا تطابقت الزاويتان المتناظرتان اللتان يصنعهما قاطع لأي مستقيمين، فإن المستقيمين يكونان متوازيين. ومن ثم إذا كان قاطع أي مستقيمين عموديًّا على المستقيمين، فلا بد أن يكون المستقيمان متوازيين؛ لأن زواياهما المتناظرة متطابقة. هذا يعطينا الخاصية الآتية. إذا كان هناك مستقيمان عموديان على نفس المستقيم، فلا بد أن يكونا متوازيين. دعونا الآن نتناول مثالًا لتطبيق هاتين الخاصيتين لتحديد العلاقات بين المستقيمات.

إذا كان المستقيم ﺃﺏ موازيًا للمستقيم ﺟﺩ، والمستقيم ﻫﻭ عموديًّا على المستقيم ﺟﺩ، فأي من الآتي صواب؟ أ: القطعة المستقيمة ﻫﺯ تنصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ. ب: المستقيم ﺃﺏ يوازي المستقيم ﻫﺯ. ج: المستقيم ﺃﺏ عمودي على المستقيم ﺟﺩ. د: المستقيم ﺃﺏ عمودي على المستقيم ﻫﺯ. هـ: القطعة المستقيمة ﻫﻭ تنصف القطعة المستقيمة ﺟﺩ.

نبدأ بتوضيح حقيقة أن المستقيم ﻫﻭ عمودي على المستقيم ﺟﺩ على الشكل، وهو ما يعني أن المستقيمين يكونان زوايا قائمة، وأن المستقيمين ﺃﺏ، وﺟﺩ متوازيان. يمكننا بعد ذلك الاستعانة بالزاويتين المتناظرتين لنجد أن المستقيم ﻫﻭ عمودي على المستقيم ﺃﺏ. هذا يوضح أن المستقيم ﺃﺏ عمودي على المستقيم ﻫﺯ، وهو الموجود لدينا في الخيار د. لكن هذه حالة خاصة توضح حقيقة أنه إذا كان هناك مستقيم عمودي على المستقيم ﻝ، فإنه يكون عموديًّا على أي مستقيم مواز للمستقيم ﻝ.

جدير بالذكر أنه على الرغم من أن لدينا في الشكل قاطعًا ينصف مستقيمين متوازيين، فلا يشترط أن تكون هذه هي الحالة دائمًا؛ لأنه يمكن نقل القاطع ويكون عموديًّا على المستقيمين المتوازيين دون أن ينصفهما. نلاحظ هنا أن الخط المستقيم ﻝ عمودي على المستقيمين المتوازيين ﺃﺏ وﺟﺩ، وأنه ليس منصفًا عموديًّا لأي من المستقيمين. لذا لا يمكننا استنتاج أن القطعة المستقيمة ﻫﺯ تنصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ أو أنها تنصف القطعة المستقيمة ﺟﺩ. إذن الإجابتان أ، هـ غير صحيحتين. ومن ثم فإن المستقيم ﺃﺏ عمودي على المستقيم ﻫﺯ، والإجابة الصحيحة هي الخيار د.

قبل أن ننتقل إلى المثال التالي هناك خاصية أخرى مفيدة يمكننا استعراضها. نفترض أن لدينا مستقيمين متوازيين؛ ﺃﺏ وﺟﺩ، ومستقيمين متوازيين آخرين؛ ﺟﺩ، وﻫﻭ. من الواضح أن المستقيمات الثلاثة متوازية. يمكننا إثبات ذلك برسم قاطع عمودي على المستقيم ﻫﻭ. باستخدام الزوايا المتناظرة، يمكننا إثبات أن المستقيمات الثلاثة كلها عمودية على القاطع. يمكننا بعد ذلك استرجاع أنه إذا كان هناك مستقيمان عموديان على المستقيم نفسه، فلا بد أن يكونا متوازيين. ومن ثم فإن المستقيمات الثلاثة كلها تكون متوازية.

لقد أثبتنا النتيجة الآتية. إذا كان لدينا مستقيمان موازيان لمستقيم ثالث، فإن المستقيمات الثلاثة تكون متوازية. دعونا الآن نتناول مثالًا لاستخدام هذه الخاصية لتحديد العلاقة بين مستقيمات معطاة.

املأ الفراغ. إذا كان المستقيم ﺃﺏ يوازي المستقيم ﺟﺩ، والمستقيم ﺃﺏ يوازي المستقيم ﻫﻭ؛ فإن المستقيم ﺟﺩ (فراغ) المستقيم ﻫﻭ.

دعونا أولًا نسترجع أنه إذا كان لدينا مستقيمان موازيان لنفس المستقيم، فلا بد أن يكون هذان المستقيمان متوازيين. بما أن المستقيمين ﺟﺩ وﻫﻭ موازيان للمستقيم نفسه، ﺃﺏ، فلا بد أن يكون هذان المستقيمان متوازيين. إذن الإجابة هي أن المستقيم ﺟﺩ يوازي المستقيم ﻫﻭ، كما هو موضح.

توجد خاصية أخيرة حول قواطع المستقيمات المتوازية نريد استعراضها. وسنتعرف على هذه الخاصية من خلال مثال.

لدينا الشكل الآتي؛ حيث ﻝ واحد، وﻝ اثنان، وﻝ ثلاثة، جميعها مستقيمات متوازية، وطولا القطعتين المستقيمتين المحصورتين بين المستقيمات المتوازية كما هو موضح. يتضح من الشكل أنه إذا كانت القطعتان المستقيمتان لقاطع، المحصورتان بين ثلاثة مستقيمات متوازية؛ متساويتين في الطول، فهذا يعني أن القطع المستقيمة لأي قاطع، المحصورة بين ثلاثة مستقيمات متوازية، تكون متساوية في الطول أيضًا. يمكننا إثبات ذلك باستخدام المثلثات المتطابقة.

يمكننا البدء برسم قاطع عمودي مقسم إلى جزأين متساويين في الطول عن طريق مستقيمات متوازية كما هو موضح. نلاحظ أن قياس الزاوية ﻡﻥﻝ يساوي قياس الزاوية ﻭﻥﻙ؛ لأنهما زاويتان متقابلتان بالرأس. نلاحظ الآن أن المثلث ﻭﻥﻙ والمثلث ﻡﻥﻝ متطابقان وفقًا لمسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما. هذا يعني تحديدًا أن طول ﻝﻥ يساوي طول ﻥﻙ. ومن ثم ينقسم أيضًا القاطع الآخر إلى جزأين متساويين في الطول. يمكننا دائمًا إضافة قاطع عمودي إلى هذه المستقيمات. إثبات هذه النتيجة مماثل لما استعرضناه.

لقد أثبتنا الخاصية الآتية. إذا قسمت مجموعة من المستقيمات المتوازية قاطعًا إلى قطع مستقيمة ذات أطوال متساوية، فإنها تقسم أي قاطع آخر إلى قطع مستقيمة ذات أطوال متساوية. سنستعرض الآن بعض الأمثلة لاستخدام هذه الخاصية لإيجاد طول القاطع المحصور بين مستقيمات متوازية.

إذا كانت المستقيمات ﺃﺏ، وﺟﺩ، وﻫﻭ كلها متوازية، وﺟﻫ يساوي سنتيمترين، فأوجد طول ﺃﻫ.

نلاحظ في الشكل أن لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية وقاطعين. نلاحظ أيضًا أن طول ﺏﺩ يساوي طول ﺩﻭ. إذن في هذه الحالة تقسم المستقيمات المتوازية أحد القاطعين إلى قطع مستقيمة ذات أطوال متساوية. يمكننا تذكر أنه إذا قسمت مجموعة من المستقيمات المتوازية قاطعًا إلى قطع مستقيمة ذات أطوال متساوية، فإنها تقسم أي قاطع آخر إلى قطع مستقيمة ذات أطوال متساوية. ومن ثم فإنها ستقسم القاطع الآخر إلى أجزاء ذات أطوال متساوية. إذن طول ﺃﺟ يساوي طول ﺟﻫ؛ أي يساوي سنتيمترين. نلاحظ أن ﺃﻫ يساوي ﺃﺟ زائد ﺟﻫ. إذن ﺃﻫ يساوي سنتيمترين زائد سنتيمترين، وهو ما يساوي أربعة سنتيمترات.

في المثال الأخير سنطبق عدة خواص لقواطع المستقيمات المتوازية على مثلث فيه ضلعان ينصفهما مستقيم مواز لمستقيم آخر.

لدينا المثلث ﺃﺏﺟ والخطان المستقيمان ﺃﻡ، وﻫﺩ، الموازيان للمستقيم ﺟﺏ. أوجد طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ. أوجد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ.

لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية، وقاطعان لهذه المستقيمات. يمكننا تذكر أنه إذا قسمت مجموعة من المستقيمات المتوازية قاطعًا إلى قطع مستقيمة ذات أطوال متساوية، فإنها تقسم أي قاطع آخر إلى قطع مستقيمة ذات أطوال متساوية. بما أن طول ﺃﻫ يساوي طول ﻫﺟ، فلا بد أن تكون القطع المستقيمة للقاطع الآخر ذات أطوال متساوية. إذن طول ﺃﺩ يساوي طول ﺩﺏ؛ أي يساوي خمسة ملليمترات. وبما أن طول ﺃﺏ يساوي ﺃﺩ زائد ﺩﺏ، فإن طول ﺃﺏ يساوي خمسة ملليمترات زائد خمسة ملليمترات، وهو ما يساوي ١٠ ملليمترات. إذن طول ﺃﺏ يساوي ١٠ ملليمترات.

يتضح من الشكل أن المثلث ﺃﺏﺟ قائم الزاوية. لكن علينا توضيح سبب ذلك. يمكننا فعل ذلك باسترجاع أنه إذا كان لدينا مستقيم عمودي على المستقيم ﻝ، فإنه يكون عموديًّا على أي مستقيم مواز للمستقيم ﻝ. بما أن المستقيم ﻫﺩ عمودي على المستقيم ﺃﺟ، والمستقيم ﻫﺩ مواز للمستقيم ﺏﺟ؛ فلا بد أن يكون المستقيمان ﺏﺟ، وﺃﺟ متعامدين. هذا يعني أن قياس الزاوية عند ﺟ يساوي ٩٠ درجة؛ وبذلك يكون ﺃﺏﺟ مثلثًا قائم الزاوية.

مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة. إذن ١٨٠ درجة يساوي ٣٥ درجة زائد ٩٠ درجة زائد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ. بإعادة ترتيب المعادلة يصبح لدينا قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٣٥ درجة ناقص ٩٠ درجة؛ وهو ما يساوي ٥٥ درجة. إذن الإجابة عن جزأي هذا السؤال هي: ١٠ ملليمترات، و٥٥ درجة.

دعونا نختتم الفيديو بتلخيص بعض أهم النقاط التي وردت في هذا الفيديو. إذا كان هناك مستقيم عمودي على المستقيم ﺃﺏ، فإنه يكون عموديًّا على أي مستقيم مواز للمستقيم ﺃﺏ. إذا كان هناك مستقيمان عموديان على نفس المستقيم، فلا بد أن يكونا متوازيين. إذا كان هناك مستقيمان موازيان لمستقيم ثالث، فإن المستقيمات الثلاثة تكون جميعها متوازية. إذا قسمت مجموعة من الخطوط المستقيمة المتوازية قاطعًا إلى قطع مستقيمة ذات أطوال متساوية، فإن تلك المجموعة تقسم أي قاطع آخر إلى قطع مستقيمة ذات أطوال متساوية أيضًا.