نسخة الفيديو النصية
أوجد تكامل اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة ﺱ ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺱ.
مطلوب منا حساب تكامل حيث الدالة التي سيتم تكاملها هي تركيب دالتين. وتوجد بعض الطرق المختلفة لحل هذه المسألة. على سبيل المثال، يمكننا محاولة حلها مباشرة باستخدام التكامل بالتجزيء. وهذا سينجح. لكن، توجد طريقة أبسط. بما أن الدالة التي سيتم تكاملها هي تركيب دالتين، فسنحاول إجراء تكامل ذلك باستخدام التعويض. سنعوض بـ ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص خمسة. إذا كان ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص خمسة، فإننا نشتق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. فنحصل على ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي معامل ﺱ، وهو ثلاثة.
وتذكر أننا نعرف أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا. لكن عندما نستخدم التكامل بالتعويض، فيمكننا التعامل معه على أنه كسر. هذا يعطينا التعبير المكافئ بدلالة المشتقة ﺩﻉ يساوي ثلاثة ﺩﺱ.
نحن الآن جاهزون لاستخدام التعويض. أولًا، لدينا ثلاثة ﺱ ناقص خمسة يساوي ﻉ. وبقسمة كلا الطرفين على ثلاثة، نجد أن ثلث ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ. وهذا يعطينا تكامل اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ في ثلث ﺩﻉ. والآن يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة وإخراج العامل ثلث خارج التكامل لنحصل على ثلث في تكامل اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. وعلى الرغم من أننا قد لا نعرف المشتقة العكسية للوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ، فإننا نعلم أنه يمكننا إيجاد هذا باستخدام التكامل بالتجزيء.
قبل أن نستخدم التكامل بالتجزيء، تذكر أن هذا تكامل بدلالة ﻉ. لذا، لا يمكننا أن نطلق على إحدى الدالتين عند إجراء التكامل بالتجزيء ﻉ. ولذا، سنسمي هذا ﻭ بدلًا من ذلك. ينص التكامل بالتجزيء على أنه إذا كان ﻭ وﻕ شرطة دالتين في ﻉ، فإن تكامل ﻭﻕ شرطة بالنسبة إلى ﻉ يساوي ﻭ في ﻕ ناقص تكامل ﻕ في ﻭ شرطة بالنسبة إلى ﻉ.
وقد نقلق بشأن مشكلة ما هنا. فالدالة التي سيتم تكاملها ليست حاصل ضرب دالتين. ولكن، يمكننا حل ذلك بكتابة الدالة التي سيتم تكاملها على صورة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ مضروبًا في واحد. علينا أن نتذكر الآن أنه عندما نستخدم التكامل بالتجزيء، فإننا نريد اختيار ﻭ لكي نحصل على شيء أكثر بساطة عند اشتقاقه. ومن ثم يسهل إجراء التكامل.
علينا التفكير قليلًا في الدوال الداخلة في التكامل. لدينا هنا دالة لوغاريتم طبيعي. لذلك، سنختار ﻭ ليكون اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ. و ولكن ليس من الضروري التوقف للتفكير في الدوال الداخلة في التكامل لتحديد أيها سيكون ﻭ في تلك الحالة؛ لأن علينا إجراء تكامل الدالة ﻕ شرطة. وقد ذكرنا بالفعل أننا لا نعرف كيفية إجراء تكامل اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ مباشرة. لذلك، علينا اختيار ﻕ شرطة يساوي واحدًا. إذن، سنجعل ﻭ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ وﻕ شرطة يساوي واحدًا.
لاستخدام التكامل بالتجزيء، نحتاج إلى تعبيرات لـ ﻭ شرطة وﻕ. لنبدأ بـ ﻭ شرطة. ﻭ شرطة هو مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. نعرف أن هذا يساوي واحدًا على ﻉ. بعد ذلك، لإيجاد ﻕ، نعلم أن تكامل واحد بالنسبة إلى ﻉ يساوي ﻉ زائد ثابت التكامل. نحتاج فقط إلى أي مشتقة عكسية. لذا سنختار ﻉ. يمكننا الآن التعويض بتعبيرات ﻭ وﻕ وﻭ شرطة وﻕ شرطة في مقدار التكامل بالتجزيء.
هذا يعطينا ثلثًا مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ في ﻉ ناقص تكامل ﻉ مضروبًا في واحد على ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. والآن يمكننا البدء في التبسيط. في البداية، لدينا في الدالة التي سيتم تكاملها ﻉ مقسومًا على ﻉ. إذن، تبسط الدالة التي سيتم تكاملها إلى واحد. وبإعادة الترتيب، نحصل على ثلث في ﻉ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ ناقص تكامل واحد بالنسبة إلى ﻉ. ونعرف أن سالب واحد مضروبًا في تكامل واحد بالنسبة إلى ﻉ يساوي سالب ﻉ زائد ثابت التكامل.
لكن لتسهيل الأمور، سنكتب فقط سالب ﻉ ثم نضيف ثابت التكامل في نهاية التعبير. وهذا يعطينا ثلثًا في ﻉ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ ناقص ﻉ زائد ثابت التكامل ﺙ. ما يزال بإمكاننا تبسيط الإجابة أكثر. سنخرج ﻉ عاملًا مشتركًا. وهذا يعطينا ثلثًا في ﻉ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ ناقص واحد زائد ثابت التكامل ﺙ.
وأخيرًا، علينا أن نتذكر أن هذا تعبير لتكامل بدلالة ﺱ. لذا، علينا كتابة الإجابة بدلالة ﺱ. لفعل ذلك، سنعوض بـ ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص خمسة. إذن، بالتعويض بـ ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص خمسة، نحصل على ثلث في ثلاثة ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة ﺱ ناقص خمسة ناقص واحد زائد ﺙ. إذن، باستخدام التكامل بالتعويض أولًا، ثم باستخدام التكامل بالتجزيء، تمكنا من توضيح أن تكامل اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة ﺱ ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺱ يساوي ثلثًا في ثلاثة ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة ﺱ ناقص خمسة ناقص واحد زائد ﺙ.
