تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حل نظام من المعادلات الخطية في ٣ متغيِّرات: تطبيق

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو أنواع حلول نظام من المعادلات الخطية في ٣ متغيّرات، وتطبيقًا من حياتنا على طريقة حل هذا النظام.

١١:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده، هنتكلّم على حلّ نظام من المعادلات الخطّية في ثلاثة متغيّرات.

هناخد تطبيق عليه. إزّاي نحلّ نظام من تلات معادلات في تلات مجاهيل. لمّا بيكون فيه تلات متغيّرات، ده معناه إن إحنا بنستخدم نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد، اللي هو س، وَ ص، وَ ع. فبيبقى كل معادلة خطّية عندنا بتمثّل مستوى. فيه علاقات ما بين التلات مستويات، اللي همّ بيمثّلوا التلات معادلات، اللي هي بالشكل ده.

أول علاقة عندنا في المستويات، اللي هي بيبقوا متقاطعين كده. ده في نقطة، تقاطع في نقطة، يعني عندنا حلّ وحيد مشترك ما بين التلات مستويات. الحالة رقم اتنين: إن همّ يبقوا متقاطعين كده بخطّ، أو إن همّ يكونوا متطابقين. وده يدّي لنا عدد لا نهائي من الحلول. الحالة التالتة: إن همّ يكونوا زيّ كده متوازيين، أو واحد متقاطع مع واحد والتاني. يعني واحد متقاطع مع واحد في خطّ، والتاني متقاطع معاه في خطّ. لكن التلاتة مع بعض ما بيتقاطعوش. والحالة التالتة إن همّ برضو التلاتة مع بعض ما يتقاطعوش. الحالة دي بيبقى عندنا ما فيش قيمة مشتركة ما بين التلات مستويات. فبالتالي بنقول: لا يوجد حلّ.

في الفيديو ده، هنتكلّم على تطبيق إزّاي نحلّ على نظام من المعادلات الخطّية في تلات مجاهيل أو تلات متغيّرات. نقلب الصفحة، وناخد التطبيق. في التطبيق بيقول: يُقيم مسرح المدينة حفلة لصالح إحدى المستشفيات الخيرية. وتمّ تقسيم المقاعد لمجموعات: أ، وَ ب، وَ ج. تكلفة الكرسي في مجموعة أ تلاتين جنيه. مجموعة ب: خمسة وعشرين جنيه. مجموعة ج: عشرين جنيه. وعدد كراسي مجموعة ب ضعف عدد كراسي مجموعة أ. وعدد كراسي المسرح كله تسعتاشر ألف وميتين كرسي. والعائد من المسرح ربعمية ستة وخمسين ألف جنيه. اوجد عدد الكراسي في كل مجموعة.

عشان نحلّ مشكلة من النوع ده، بنتّبع خطوات معينة، اللي هي: أول حاجة نحدّد المجاهيل اللي عندنا، والمقصود بكل منها. إحنا عندنا هنا مطلوب عدد الكراسي في كل مجموعة. وإحنا عندنا التلات مجموعات. يبقى عندنا تلات مجاهيل، اللي همّ هنسمّيهم س، وَ ص، وَ ع. هنحدّد المقصود بكل واحدة فيهم. يعني الـ س عدد الكراسي في المجموعة أ. وَ ص عدد الكراسي في ب. وَ ع عدد الكراسي في ج.

تاني خطوة عندنا: بنستخدم المعلومات المعطاة لتكوين المعادلات في التلات مجاهيل. أول معلومة مدّيهالنا: تكلفة الكرسي في مجموعة أ تلاتين جنيه. مجموعة ب: خمسة وعشرين. مجموعة ج: عشرين جنيه. يعني معناها إن لو ضربنا التلاتين في عدد الكراسي س، والخمسة وعشرين في عدد الكراسي ص، والعشرين في عدد الكراسي ع. هيدّي لنا العائد من المسرح كله، اللي هو ربعمية ستة وخمسين ألف. يبقى كده عندنا أول معادلة في التلات مجاهيل، اللي هي: تلاتين س، زائد خمسة وعشرين ص، زائد عشرين ع، كل ده هيساوي ربعمية ستة وخمسين ألف.

تاني معلومة عندنا: عدد كراسي مجموعة ب ضعف عدد كراسي مجموعة أ. يعني معناها قيمة الـ ص بتساوي اتنين من س. يبقى الـ ص هتساوي اتنين س. تالت معلومة عندنا: بيقول لنا: عدد كراسي المسرح كله تسعتاشر ألف وميتين. يعني معنى كده إن الـ س زائد ص زائد الـ ع بتساوي تسعتاشر ألف وميتين. يبقى كده عندنا تلات معادلات في التلات مجاهيل.

تالت خطوة عندنا: نحلّ لإيجاد قيمة المجاهيل. هنكتب المعادلات منظّمة: تلاتين س، زائد خمسة وعشرين ص، زائد عشرين ع تساوي ربعمية ستة وخمسين ألف. ص يساوي اتنين س. س زائد ص زائد ع يساوي تسعتاشر ألف وميتين. هناخد المعادلات دي، ونشوف هنحلّهم إزّاي.

نقلب الصفحة، ونحلّ المعادلات. كده عندنا التلات معادلات دول: تلاتين س، زائد خمسة وعشرين ص، زائد عشرين ع يساوي ربعمية ستة وخمسين ألف. وَ ص يساوي اتنين س. وَ س، زائد ص، زائد ع يساوي تسعتاشر ألف وميتين. عندنا أربع خطوات لحلّ المعادلات بالشكل ده. أول خطوة: بنحوّل نظام المعادلات بدل ما هو بتلات معادلات هنخلّيه في معادلتين. يعني هناخد مثلًا معادلة من المعادلات، ونعوّض بيها في المعادلة التانية.

عندنا هنا مثلًا، الـ ص يساوي الاتنين س. هناخد … نعوّض مرة هنا بالـ ص ومرة هنا بالـ ص؛ عشان تبقى المعادلات اتحوّلت بدل ما كانت في س وَ ص وَ ع، هتبقى المعادلات بس في س وَ ع. يبقى هنعوّض بالـ ص تساوي اتنين س في المعادلتين التانيين. أول معادلة هتبقى تلاتين س زائد خمسة وعشرين في قيمة الـ ص، اللي هي اتنين س، زائد عشرين ع يساوي ربعمية ستة وخمسين ألف. يبقى معنى كده إن الخمسين س زائد التلاتين س هتبقى تمانين س زائد عشرين ع، هتساوي ربعمية ستة وخمسين ألف. ودي أول معادلة عندنا في النظام اللي هيبقى فيه معادلتين بس. هنعوّض بالـ ص في المعادلة التالتة، هتبقى: س زائد اتنين س زائد ع يساوي تسعتاشر ألف وميتين. يعني تلاتة س زائد ع تساوي تسعتاشر ألف وميتين. يبقى كده عندنا معادلتين في مجهولين س وَ ع.

تاني خطوة في الحلّ: نحلّ المعادلتين إيجاد قيمة مجهول. يعني هنحلّ المعادلة دي مع المعادلة دي عن طريق إن إحنا نحذف أحد المجاهيل. يعني هنضرب معادلة من المعادلتين في رقم، ونجمعهم على بعض أو نطرحهم، ونضيّع واحد من المجاهيل. يبقى المعادلتين اللي قدامنا دول … عايزين نحذف المتغيّر ع، يبقى هنضرب في المعامل اللي مضروب في الـ ع، اللي هو العشرين. هنعكس إشارته، ونضرب فيه في المعادلة التانية. يعني هنخلّي المعادلة التانية تتضرب في سالب عشرين. يبقى المعادلة الناتجة عندنا بعد الضرب: سالب ستين س ناقص عشرين ع تساوي سالب تلتمية أربعة وتمانين ألف.

يبقى هناخد المعادلة دي، وهنجمعها على المعادلة دي، ونحذف المتغيّر ع. يبقى بالجمع: تمانين س ناقص ستين س يعني عشرين س. وعشرين ع ناقص عشرين ع هيتحذف، يبقى صفر. هيساوي اتنين وسبعين ألف. يعني عشرين س تساوي اتنين وسبعين ألف. بقسمة طرفَي المعادلة على عشرين، يبقى الـ س هتساوي تلات آلاف وستمية. كده جِبنا قيمة مجهول. هنعوّض بالـ س، ونجيب قيمة المجهول التاني. لو عوّضنا بالـ س في المعادلة رقم اتنين، اللي هي: ص تساوي اتنين س، يبقى نقدر نجيب قيمة الـ ص. اللي هي هتساوي … ص تساوي اتنين في تلات آلاف وستمية. هتساوي سبعة آلاف وميتين كرسي.

يبقى كده جِبنا قيمة الـ ص. هنجيب قيمة الـ ع. نعوّض في أيّ معادلة من المعادلات الأصلية. وطبعًا الأسهل إن إحنا ناخد المعادلة اللي ما فيش فيها ضرب في المعاملات. يعني الـ س والـ ص والـ ع معاملاتهم واحد. يبقى نجيب قيمة الـ ع. هتساوي تسعتاشر ألف وميتين ناقص قيمة الـ س، وناقص قيمة الـ ص، اللي هي تلات آلاف وستمية، والسبعة آلاف وميتين، اللي هي عشرة آلاف وتمنمية. يبقى قيمة الـ ع هتساوي تمن تلاف وربعمية. يبقى كده قيمة عدد الكراسي في ج تمن تلاف وربعمية كرسي. وقيمة عدد الكراسي في الـ ب سبعة آلاف وميتين. وقيمة عدد الكراسي في الـ أ تلات آلاف وستمية.

وممكن نتأكّد من الحلّ بتاعنا بإن إحنا هنعوّض في أيّ معادلة من المعادلات اللي باقية. يعني إحنا خدنا المعادلة اللي هي س زائد ص زائد ع، اللي هي تسعتاشر ألف وميتين. الكلام ده ممكن نعوّض في المعادلتين التانيين، ونتأكّد إن الحلّ بتاعنا صحيح.

يبقى في الفيديو ده، اتكلّمنا عن إزّاي هنحوّل حاجة من حياتنا لنظام معادلات. لو كانت في التلات متغيّرات، يبقى عندنا طريقة واحدة: إن إحنا بنحدّد المتغيّرات. نشوف المقصود منها، ونحطّها على شكل معادلات؛ تلات معادلات في تلات مجاهيل. وبعد كده بنحلّ المعادلات.

حلّ المعادلات بيبقى عن طريق إن إحنا نحوّل نظام التلات معادلات لمعادلتين، بإن إحنا هناخد واحد من المتغيّرات نعوّض بيه في المعادلات. ونحوّل المعادلات بدل ما كانت مثلًا في س وَ ص وَ ع، تبقى في متغيّرين بس، زيّ ما عملنا في المثال، كان س وَ ع. وبعد كده هنجيب قيمة الـ س من المعادلات بإن إحنا نحذف المتغيّر اللي باقي أو نعوّض عن قيمته. وبعدين هيتبقّى لنا متغيّر واحد بس زيّ الـ س. وبعد كده هناخد قيمة الـ س نعوّض بيها في أحد المعادلات؛ عشان نجيب متغيّر التاني، اللي هو الـ ص. وبعد كده بيطلع عندنا القيمتين س وَ ص. خلاص جِبناهم. نقوم جايبين تالت مجهول اللي باقي، اللي هو كان الـ ع. بعد كده بنتأكّد من الحل بتاعنا بإن إحنا ناخد التلات متغيّرات اللي جِبنا قيمتهم نعوّض بيهم في المعادلات اللي باقية عندنا. ونتأكّد إن الحلّ صحيح.

في المثال اللي اتكلّمنا عنه ده، كان الحلّ حلّ وحيد في نقطة واحدة، اللي هي كانت تلات آلاف وستمية، وسبعة آلاف وميتين، وتمن تلاف وربعمية. يبقى التلات مستويات اتقاطعوا عندنا في نقطة واحدة. ودي كانت الحالة الأولانية بين العلاقات بين المستويات.