تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: حساب الانحراف المعياري لمتغير عشوائي متقطع الرياضيات

أوجد الانحراف المعياري للمتغير العشوائي ﺱ الموضح توزيعه الاحتمالي. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٦:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد الانحراف المعياري للمتغير العشوائي ﺱ الموضح توزيعه الاحتمالي. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

لدينا هنا التوزيع الاحتمالي لهذا المتغير العشوائي المتقطع في صورة بيانية. ولمساعدتنا في الإجابة عن السؤال، دعونا نحول هذا إلى جدول. سنكتب القيم في مدى المتغير العشوائي المتقطع في الصف العلوي، ثم الاحتمالات المرتبطة بها، وهي قيم ﺩﺱ، في الصف الثاني. على التمثيل البياني، القيم في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع هي القيم على المحور ﺱ، وهي واحد، واثنان، وثلاثة، وأربعة، وخمسة.

واحتمال كل قيمة من هذه القيم هو ارتفاع العمود الخاص بها، أي القيمة على المحور ﺹ. فعلى سبيل المثال، احتمال أن ﺱ يساوي واحدًا هو خمسة على ١٢. واحتمال أن ﺱ يساوي اثنين هو ثلاثة على ١٢. واحتمال أن ﺱ يساوي ثلاثة هو اثنان على ١٢. وأخيرًا، احتمال كل من أربعة وخمسة هو واحد على ١٢. ونلاحظ أن مجموع هذه الاحتمالات يساوي واحدًا، وهو ما ينبغي أن يكون عليه مجموع جميع الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي.

مطلوب منا حساب الانحراف المعياري لهذا المتغير العشوائي المتقطع ﺱ، وهو مقياس لانتشار توزيعه الاحتمالي. نمثل ذلك باستخدام الحرف اليوناني 𝜎 أو أحيانًا 𝜎ﺱ إذا كان يوجد عدة متغيرات في المسألة نفسها. والانحراف المعياري يساوي الجذر التربيعي للتباين، الذي نكتبه على صورة 𝜎 تربيع أو تباين ﺱ.

الصيغة المستخدمة لحساب تباين متغير عشوائي متقطع هي على النحو التالي: إنه يساوي توقع ﺱ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع. الفرق في الترميز مهم هنا. في الحد الأول، نقوم بتربيع قيم ﺱ أولًا ثم نوجد القيمة المتوقعة، بينما في الحد الثاني نوجد القيمة المتوقعة لـ ﺱ، ثم نقوم بتربيع هذه القيمة. لدينا الكثير من العمل هنا. لذا، علينا تقسيم العملية الحسابية إلى خطوات مختلفة.

سنبدأ بحساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ. وهي تساوي مجموع كل قيمة في مدى المتغير العشوائي المتقطع مضروبة في الاحتمال المناظر لها. يمكننا أن نضيف صفًّا إلى الجدول لدينا لحساب هذه القيم. أولًا، لدينا واحد مضروب في خمسة على ١٢، وهو ما يساوي خمسة على ١٢؛ ثم اثنان مضروب في ثلاثة على ١٢، وهو ما يساوي ستة على ١٢. لدينا بعد ذلك ثلاثة مضروب في اثنين على ١٢، وهو ما يساوي أيضًا ستة على ١٢؛ ثم أربعة مضروب في واحد على ١٢، وهو ما يساوي أربعة على ١٢؛ وأخيرًا، خمسة مضروب في واحد على ١٢، أي خمسة على ١٢.

يمكن تبسيط بعض هذه القيم، لكننا سنتركها جميعًا بهذا المقام المشترك وهو ١٢ لأننا نحتاج إلى إيجاد مجموعها. لدينا خمسة على ١٢ زائد ستة على ١٢ زائد ستة على ١٢ زائد أربعة على ١٢ زائد خمسة على ١٢. هذا يساوي ٢٦ على ١٢، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ١٣ على ستة. وهكذا أوجدنا القيمة المتوقعة لـ ﺱ.

بعد ذلك، علينا حساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع. وصيغة حساب ذلك هي مجموع قيم ﺱ بعد تربيعها وضربها في الاحتمالات المناظرة لها، والتوزيع الاحتمالي لـ ﺱ تربيع هو نفسه دالة التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ. إذا كانت القيم في مدى المتغير العشوائي المتقطع هي واحدًا، واثنين، وثلاثة، وأربعة، وخمسة، فإن القيم في مدى ﺱ تربيع تساوي مربعات هذه القيم. أي: واحدًا، وأربعة، وتسعة، و١٦، و٢٥. واحتمالات هذه القيم مطابقة تمامًا للصف الثاني في الجدول لأن احتمال أن يكون ﺱ تربيع يساوي أربعة، على سبيل المثال، هو احتمال أن يكون ﺱ مساويًا لاثنين.

يمكننا إضافة صف أخير إلى الجدول، حيث نضرب قيم ﺱ بعد تربيعها في قيم ﺩﺱ المناظرة لها. هذا يعطينا خمسة على ١٢، و١٢ على ١٢، و١٨ على ١٢، و١٦ على ١٢، و٢٥ على ١٢. ومرة أخرى، سنترك لكل قيمة من هذه القيم المقام ١٢ حتى يمكننا جمعها بسهولة. مجموع هذه القيم الخمس هو ٧٦ على ١٢، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ١٩ على ثلاثة.

بعد ذلك، نحسب تباين ﺱ، وهو يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع — أي ١٩ على ثلاثة — ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ، أي ١٣ على ستة تربيع. يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لمساعدتنا في حساب ذلك، لنحصل على ٥٩ على ٣٦. الخطوة الأخيرة التي علينا القيام بها هي أخذ الجذر التربيعي لهذه القيمة لإيجاد الانحراف المعياري. إذن 𝜎 يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٩ على ٣٦، وهو ما يساوي، في صورة عدد عشري، ١٫٢٨٠١ وهكذا مع توالي الأرقام. ومطلوب منا تقريب الإجابة إلى أقرب منزلتين عشريتين.

إذن، عن طريق جدولة التوزيع الاحتمالي الموضح في الشكل البياني، ثم الحل من خلال الخطوات المختلفة لاستخدام صيغة حساب التباين، ثم إيجاد جذره التربيعي، وجدنا أن الانحراف المعياري لهذا المتغير العشوائي المتقطع ﺱ لأقرب منزلتين عشريتين هو ١٫٢٨.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.