نسخة الفيديو النصية
أوجد مجموع المتسلسلة الحسابية جذر اثنين، ناقص جذر اثنين، ناقص ثلاثة جذر اثنين، وصولًا إلى ناقص تسعة جذر اثنين. لحل هذه المسألة، لدينا صيغة تساعدنا في إيجاد مجموع أي متسلسلة حسابية.
لحل هذه المسألة، لدينا صيغة تساعدنا في إيجاد مجموع أي متسلسلة حسابية. وتلك الصيغة هي: مجموع عدد 𝑛 من الحدود يساوي عدد الحدود على اثنين، مضروبًا في 𝑎 واحد زائد 𝑎𝑛. وهذا حيث يكون 𝑛 — كما ذكرنا — هو عدد الحدود، و𝑎 واحد هو الحد الأول، و𝑎𝑛 هو الحد الأخير.
حسنًا، نعرف الآن الصيغة ونعرف كل جزء منها. فلنستخدمها لإيجاد مجموع متسلسلتنا الحسابية. متى تعاملت مع هذا النوع من المسائل، فإن ما أفعله دائمًا هو أن أكتب ما يمثله كل جزء من الصيغة أولًا. سأبدأ إذن بـ 𝑎 واحد، لأن هذا هو الحد الأول، وهو جذر اثنين. ثم لدينا الحد الأخير 𝑎𝑛، وهو سالب تسعة جذر اثنين. لكننا لا نعرف قيمة 𝑛 لأننا لا نعرف عدد الحدود الموجودة في المتسلسلة.
لمعرفة كم حدًّا لدينا في المتسلسلة، علينا أن نفكر أولًا في معنى المتسلسلة الحسابية. حسنًا، لدينا تعريف هنا. وهو يقول إن المتسلسلة الحسابية للمتتابعة هي متسلسلة يكون الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتًا. حسنًا، رائع، لكن كيف يساعدنا هذا؟ حسنًا، ما يمكننا فعله إذن هو أن نحدد الفرق المشترك بين الحدود، لأن هذا سيساعدنا في تحديد عدد الحدود في المتسلسلة.
إذن، لإيجاد 𝑑، سأطرح الحد الأول من الحد الثاني. كان بإمكاني أن أطرح الحد الثاني من الثالث، لأن أيًّا منهما كان سيعطينا النتيجة نفسها، حيث ذكرنا أن هناك فرقًا مشتركًا. لدينا إذن سالب جذر اثنين ناقص جذر اثنين، ما يعطينا سالب اثنين جذر اثنين. حسنًا، رائع، هذا إذن هو الفرق المشترك.
لكن كيف يساعدنا هذا في معرفة عدد الحدود؟ حسنًا، ما يمكننا فعله هو الانتقال إلى الحد الثالث، وهو سالب ثلاثة جذر اثنين، ثم استخدام الفرق المشترك لنرى كم حدًّا لدينا حتى نصل إلى الحد الأخير، وهو سالب تسعة جذر اثنين. إذا طرحنا اثنين جذر اثنين من سالب ثلاثة جذر اثنين، فسنحصل على سالب خمسة جذر اثنين. إذن، هذا هو الحد الرابع.
فلنكرر ذلك ثانية. لنطرح مرة أخرى اثنين جذر اثنين. يعطينا هذا سالب سبعة جذر اثنين. حسنًا، هذا هو الحد الخامس. ثم إذا طرحنا اثنين جذر اثنين مرة أخرى، فسنحصل على سالب تسعة جذر اثنين. إذن، سالب تسعة جذر اثنين سيكون هو الحد السادس. وبذلك نعرف أن لدينا ستة حدود في المتسلسلة.
حسنًا، مذهل، لدينا الآن قيم 𝑛، و𝑎 واحد، و𝑎𝑛. يمكننا في الواقع التعويض بهذه القيم في الصيغة لإيجاد مجموع المتسلسلة الحسابية. إذن، فمجموع الحدود الستة الأولى، التي هي 𝑛، يساوي 𝑛 على اثنين — إذن، ستة على اثنين — مضروبًا في الحد الأول، وهو جذر اثنين، زائد الحد الأخير، وهو سالب تسعة جذر اثنين، ما يعطينا ثلاثة في سالب ثمانية جذر اثنين، لأن جذر اثنين زائد سالب تسعة جذر اثنين يعطينا سالب ثمانية جذر اثنين.
لذلك، يمكننا القول إن مجموع المتسلسلة الحسابية يساوي سالب 24 جذر اثنين. وقد حصلنا على هذا عن طريق ضرب ثلاثة في سالب ثمانية، ما يعطينا سالب 24 ثم نكتب جذر اثنين.