فيديو السؤال: >حل زوج من المعادلات الآنية باستخدام المصفوفات | نجوى فيديو السؤال: >حل زوج من المعادلات الآنية باستخدام المصفوفات | نجوى

فيديو السؤال: >حل زوج من المعادلات الآنية باستخدام المصفوفات الرياضيات • الصف الأول الثانوي

استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات الآتي: ٣ﺱ + ٤ﺹ = ٢٠، ٢ﺱ + ٢ﺹ = ١٢.

٠٦:٢٧

نسخة الفيديو النصية

استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات الآتي: ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ يساوي ٢٠، واثنان ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ١٢.

في ضوء الطريقة التي نضرب بها المصفوفات باستخدام الضرب القياسي للصفوف والأعمدة، يمكننا استخدام المصفوفات لتمثيل نظام من المعادلات الخطية. سنستخدم معاملات ﺱ وﺹ في المعادلتين. ونكتب معادلة مصفوفية، كما هو موضح. وهي ثلاثة، أربعة، اثنان، اثنان مضروبًا في ﺱ،‏ ﺹ يساوي ٢٠، ١٢. إذا ما زلت غير متأكد أن هاتين الصورتين متكافئتان، فهيا نتناول ما سيحدث إذا ضربنا المصفوفتين إحداهما في الأخرى.

سنحسب حاصل الضرب القياسي للصف الأول في المصفوفة الأولى والعمود ﺱ،‏ ﺹ. هذا يساوي ثلاثة في ﺱ زائد أربعة في ﺹ. نحصل على ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ، وهو ما نريد إيجاده. بعد ذلك، سنحسب حاصل الضرب القياسي للصف الثاني في المصفوفة الأولى والعمود ﺱ،‏ ﺹ. هذا يساوي اثنين في ﺱ زائد اثنين في ﺹ، ما يعطينا اثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ. يصبح لدينا إذن هاتان المصفوفتان المتساويتان؛ وهما ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ، واثنان ﺱ زائد اثنين ﺹ، يساوي ٢٠، ١٢. نعلم أنه لكي تتساوى المصفوفات، يجب أن تكون عناصرها المنفردة متساوية. وهذا سيعيدنا إلى مجموعة المعادلات الخطية الأصلية.

هيا نتناول إذن المسألة المعطاة. كيف يمكن أن تسهل هذه الصورة الحل؟ دعونا نسم المصفوفة ثلاثة، أربعة، اثنان، اثنان بـ ﺃ. نحن نعلم أن حاصل ضرب معكوس المصفوفة والمصفوفة الأصلية يساوي مصفوفة الوحدة. لذا، إذا ضربنا طرفي المعادلة المصفوفية في معكوس ﺃ، فسنحصل على قيمتي ﺱ،‏ ﺹ. بضرب الطرف الأيمن في معكوس ﺃ، يصبح لدينا مصفوفة الوحدة مضروبة في ﺱ،‏ ﺹ، وهو ما يساوي ﺱ،‏ ﺹ. وفي الطرف الأيسر، سيكون لدينا معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في ٢٠، ١٢. هيا إذن نوجد معكوس ﺃ.

إذا كانت لدينا مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وعناصرها هي ﺃ، ﺏ،‏ ﺟ،‏ د، فإن معكوسها يساوي واحدًا على قيمة محدد ﺃ مضروبًا في د، سالب ﺏ، سالب ﺟ،‏ ﺃ. وقيمة محدد ﺃ تساوي ﺃد ناقص ﺏﺟ. يجب التأكيد على أنه إذا كانت قيمة محدد ﺃ تساوي صفرًا، فإن معكوس المصفوفة غير موجود. هذا لأننا في هذه الحالة سنضرب مصفوفة ما في واحد على صفر وستكون النتيجة غير معرفة. لنبدأ إذن بحساب قيمة محدد المصفوفة ﺃ.

سنضرب العنصر العلوي الأيمن والعنصر السفلي الأيسر، ثم سنطرح حاصل ضرب العنصر العلوي الأيسر والعنصر السفلي الأيمن. هذا يساوي ثلاثة في اثنين ناقص أربعة في اثنين، ما يعطينا سالب اثنين. معكوس ﺃ يساوي واحدًا على قيمة المحدد مضروبًا في المصفوفة. واحد على سالب اثنين يساوي سالب نصف. بعد ذلك، نجد المصفوفة التي تعنينا بالتبديل بين العنصر العلوي الأيمن والعنصر السفلي الأيسر. ومن ثم، نبدل بين اثنين وثلاثة. ونغير إشارتي العنصرين الآخرين. فنحصل على سالب أربعة وسالب اثنين. إذن، معكوس ﺃ هو سالب نصف مضروبًا في اثنين، سالب أربعة، سالب اثنين، ثلاثة.

من المنطقي أن نضرب كل عنصر في سالب نصف. وهذا سيجعل الخطوة التالية أسهل. سالب نصف في اثنين يساوي سالب واحد. وسالب نصف في سالب أربعة يساوي اثنين. وسالب نصف في سالب اثنين يساوي واحدًا. وسالب نصف في ثلاثة يساوي سالب ثلاثة على اثنين. بعد أن أوجدنا معكوس ﺃ، يمكننا الآن الرجوع إلى المعادلة المصفوفية.

‏ﺱ،‏ ﺹ يساوي سالب واحد، اثنين، واحد، سالب ثلاثة على اثنين مضروبًا في ٢٠، ١٢. لإيجاد العنصر الأول في مصفوفة الحل، سنوجد حاصل الضرب القياسي للصف الأول في المصفوفة الأولى والعمود ٢٠، ١٢. وهذا يساوي سالب واحد في ٢٠ زائد اثنين في ١٢، ما يساوي أربعة. سنكرر هذه العملية في الصف الثاني. لدينا واحد في ٢٠ زائد سالب ثلاثة على اثنين في ١٢، ما يساوي اثنين. وبذلك نعرف أن ﺱ،‏ ﺹ يساوي أربعة، اثنين. لكي تكون هاتان المصفوفتان متساويتين، يجب أن تكون عناصرهما المنفردة متساوية. إذن يمكننا القول إن ﺱ يساوي أربعة وﺹ يساوي اثنين هما حل نظام المعادلات المعطى.

من المحبذ دائمًا عند حل أنظمة من المعادلات أن نتحقق من الحلول بالتعويض بها في المعادلات الأصلية. ومن ثم، سنعوض بـ ﺱ يساوي أربعة وﺹ يساوي اثنين في المقدار الأول المعطى. وهو ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ. نحصل على ثلاثة في أربعة زائد أربعة في اثنين، ما يساوي ٢٠ كما هو مطلوب. وبالمثل، اثنان في أربعة زائد اثنين في اثنين يساوي ١٢، وهو المطلوب أيضًا. وهكذا، نكون قد استخدمنا المصفوفات لحل نظام المعادلات الخطية. وحصلنا على ﺱ،‏ ﺹ يساوي أربعة، اثنين، أي ﺱ يساوي أربعة، وﺹ يساوي اثنين.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية