نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف نحلل المقادير الثلاثية إلى حاصل ضرب مقدارين من ذوات الحدين.
نبدأ باسترجاع تعريف كل من وحيدات الحد، والمقادير ذات الحدين، والمقادير الثلاثية. وحيدة الحد هي حاصل ضرب أعداد ومتغيرات ذات قوى. المقدار ذو الحدين هو مجموع وحيدتي حد أو الفرق بينهما. المقدار الثلاثي هو مجموع ثلاث وحيدات حد أو الفرق بينها. من أمثلة وحيدة الحد: سالب خمسة ﺱ تربيع ﺹ. ومن أمثلة المقدار ذي الحدين: ثلاثة ﺱ تربيع زائد سبعة. ومن أمثلة المقدار الثلاثي: اثنان ﺃ تربيع ناقص اثنين ﺃﺏ زائد ثلاثة ﺏ.
عندما نسرد عوامل عدد فإننا نكتب العدد على صورة حاصل ضرب عوامله. على سبيل المثال قد نكتب ٢٠ على صورة اثنين مضروبًا في ١٠. ويمكن فعل هذا الأمر أيضًا عندما نحلل مقادير جبرية. يركز هذا الفيديو على كتابة المقادير الثلاثية على صورة حاصل ضرب عاملين ذوي حدين.
بوجه عام عندما نضرب مقدارين ذوي حدين فإننا نحصل مبدئيًّا على أربعة حدود ناتجة عن ضرب كل حد من حدي أحد المقدارين ذي الحدين في كل حد من حدي المقدار ذي الحدين الآخر. إذا كان المقداران ذوا الحدين على الصورة الجبرية نفسها، يمكننا تجميع الحدين المتشابهين لنحصل على مقدار ثلاثي. كل الأمثلة التي سنتناولها في هذا الفيديو ستكون من هذا النوع. هيا نوضح أولًا عملية تحليل مقدار فيه عامل مشترك على صورة مقدار ذي حدين؛ أي إن المقدار بالفعل في صورة تحليلية ناتجة عن تحليله تحليلًا جزئيًّا.
حلل المقدار ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة زائد اثنين مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة تحليلًا كاملًا.
بمجرد النظر نلاحظ أن جزأي هذا المقدار بينهما عامل مشترك ذو حدين هو ﺱ زائد ثلاثة. لذا يمكننا أن نحلل باستخدام هذا العامل المشترك ذي الحدين. في الجزء الأول من المقدار نلاحظ أن هذا المقدار ذا الحدين مضروب في ﺱ. وفي الجزء الثاني نجد أنه مضروب في اثنين. إذن، بصفة عامة، المقدار ذو الحدين مضروب في ﺱ زائد اثنين. ومن ثم فإن ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة زائد اثنين مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة يساوي ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة. لا يمكن تحليل هذا المقدار أكثر من ذلك؛ لأن الحدين في كل مقدار ذي حدين ليس بينهما أي عوامل مشتركة سوى العدد واحد.
سنتناول الآن كيفية تحليل مقدار تربيعي على الصورة: ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ إلى حاصل ضرب مقدارين ذوي حدين. التحليل هو العملية العكسية لتوزيع الأقواس أو فكها. دعونا نوجد مفكوك حاصل ضرب المقدارين ذوي الحدين: ﺱ زائد خمسة، وﺱ زائد ثلاثة. نبدأ بتوزيع ما بداخل أول قوسين على ثاني قوسين؛ فنحصل على: ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد خمسة زائد ثلاثة مضروبًا في ﺱ زائد خمسة. بفك كل من القوسين نحصل على: ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ زائد ١٥. وبتجميع الحدود المتشابهة يبسط هذا إلى: ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ زائد ١٥.
نلاحظ أن الحد الثابت في المقدار الثلاثي هو حاصل ضرب الحدين الثابتين في المقدارين ذوي الحدين. ١٥ يساوي ثلاثة مضروبًا في خمسة. ومعامل ﺱ في المقدار الثلاثي هو ناتج جمع الحدين الثابتين في المقدارين ذوي الحدين. ثمانية يساوي ثلاثة زائد خمسة. وفي السطر قبل الأخير من الحل، الحد الذي يتضمن ﺱ مكتوب على صورة مجموع حدين لهما هذان المعاملان؛ أي على صورة: خمسة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ. يمكننا من خلال ذلك أن نتوصل إلى عملية يمكننا اتباعها للحل بصورة عكسية، وتحليل مفكوك مقدار تربيعي على الصورة: ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ إلى حاصل ضرب مقدارين ذوي حدين. من المهم ملاحظة أنه ليست كل المقادير التربيعية التي على هذه الصورة يمكن تحليلها؛ ومن ثم فإن الخطوات الآتية تنطبق فقط على المقادير القابلة للتحليل.
الخطوة الأولى هي أن نكتب أزواج عوامل الثابت ﺟ. إذا كان ﺟ موجبًا فإن العددين ستكون لهما الإشارة نفسها، وإذا كان ﺟ سالبًا فإن العددين ستكون لهما إشارتان مختلفتان. الخطوة التالية هي أن نبحث عن عاملين مع مراعاة إشارتيهما؛ بحيث يكون مجموعهما معًا هو معامل ﺱ، أي ﺏ. بعد ذلك نعيد كتابة الحد الأوسط في المقدار الثلاثي على صورة مجموع الحدين اللذين معاملاهما هما العاملان اللذان أوجدناهما. ومن ثم نقسم المقدار الرباعي الجديد إلى مقدارين ذوي حدين، ونحلل كلًّا منهما. بعد ذلك نبحث عن عامل مشترك ذي حدين لتحليل المقدار باستخدامه. والآن سنوضح هذه العملية المستخدمة لتحليل مقدار تربيعي على الصورة: ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ في المثال الآتي.
حلل ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ ناقص ٢٠.
لتحليل هذا المقدار التربيعي نكتبه على صورة حاصل ضرب مقدارين ذوي حدين. سنفعل ذلك بأن نبدأ بإعادة كتابة الحد الأوسط على صورة مجموع حدين لهما معاملان مجموعهما هو معامل ﺱ، وحاصل ضربهما هو الحد الثابت. دعونا نفكر في أزواج عوامل العدد ٢٠. بما أن حاصل ضرب العددين لا بد أن يساوي سالب ٢٠، فلا بد أن العددين لهما إشارتان مختلفتان. إذا اخترنا ثاني عاملين؛ وهما اثنان و١٠، واخترنا أن يكون اثنان موجبًا وأن يكون ١٠ سالبًا، فإن مجموع هذين العددين سيكون اثنين زائد سالب ١٠؛ وهو ما يساوي سالب ثمانية كما هو مطلوب.
الآن سنعيد كتابة المقدار الثلاثي مع التعبير عن الحد الأوسط على صورة مجموع حدين معاملاهما اثنان وسالب ١٠؛ أي إننا سنعيد كتابته على الصورة: ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ١٠ﺱ ناقص ٢٠. بتقسيم هذا المقدار الرباعي إلى مقدارين ذوي حدين ثم تحليلهما نحصل على: ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد اثنين ناقص ١٠ مضروبًا في ﺱ زائد اثنين. وأخيرًا نحلل المقدار بأكمله باستخدام العامل المشترك ذي الحدين ﺱ زائد اثنين؛ فنحصل على: ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص ١٠. هذه هي الصورة التحليلية لـ ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ ناقص ٢٠ بعد تحليله تحليلًا كاملًا.
تناولنا في هذا المثال كيفية تحليل المقادير التربيعية التي على الصورة: ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ إلى حاصل ضرب مقدارين ذوي حدين. تعرف هذه المقادير التربيعية التي فيها معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا باسم المقادير التربيعية التي معاملاتها الرئيسية تساوي واحدًا. والآن سنتناول الحالة العامة لكيفية تحليل مقدار تربيعي معامله الرئيسي لا يساوي واحدًا على الصورة: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﺃ لا يساوي صفرًا أو واحدًا أو سالب واحد. وسنوضح هذه العملية من خلال مثال.
انظر إلى حاصل ضرب المقدارين ذوي الحدين: ثلاثة ﺱ ناقص اثنين، واثنان ﺱ زائد خمسة.
باستخدام خاصية التوزيع يصبح لدينا: ثلاثة ﺱ مضروبًا في اثنين ﺱ زائد خمسة ناقص اثنين مضروبًا في اثنين ﺱ زائد خمسة، وهو ما يبسط إلى: ستة ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ ناقص أربعة ﺱ ناقص ١٠، وهذا بدوره يبسط إلى: ستة ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ ناقص ١٠. لنفكر في إجراء العملية العكسية، وذلك بالتعبير عن المقدار الثلاثي: ستة ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ ناقص ١٠؛ على صورة حاصل ضرب مقدارين ذوي حدين. في السطر الأول من الحل الذي لدينا نلاحظ أن جزأي المقدار كان لهما عامل مشترك ذو حدين؛ وهو اثنان ﺱ زائد خمسة.
لكي نحل بصورة عكسية علينا أولًا أن نعيد كتابة المقدار الثلاثي على صورة مقدار رباعي حتى نتمكن بعد ذلك من تقسيم المقدار الناتج إلى مقدارين ذوي حدين، ثم تحليل كل منهما على حدة. نبدأ بالبحث عن عددين مجموعهما يساوي معامل ﺱ، وهو هنا ١١، وحاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب معامل ﺱ تربيع والحد الثابت، وهو في هذه الحالة ستة مضروبًا في سالب ١٠؛ أي ما يساوي سالب ٦٠. هذان العددان هما ١٥، وسالب أربعة. إذن نعيد كتابة المقدار الثلاثي على صورة مقدار رباعي؛ بحيث نعبر عن الحد الذي يتضمن ﺱ على صورة حدين لهما هذان المعاملان.
بعد ذلك نقسم هذا المقدار إلى مقدارين ذوي حدين، ونحلل كل مقدار ذي حدين على حدة؛ فنحصل على: ثلاثة ﺱ مضروبًا في اثنين ﺱ زائد خمسة ناقص اثنين مضروبًا في اثنين ﺱ زائد خمسة. يتضح من ذلك وجود عامل مشترك ذي حدين، وهو اثنان ﺱ زائد خمسة، الذي يمكن تحليله بعد ذلك ليعطينا الحل وهو: اثنان ﺱ زائد خمسة مضروبًا في ثلاثة ﺱ ناقص اثنين. طريقة التحليل هذه هي العملية العكسية لفك الأقواس، التي نراها على الجانب الأيسر من الشاشة. في الواقع طريقة تحليل مقدار تربيعي معامله الرئيسي يساوي واحدًا، كما سبق ورأينا، حالة خاصة لهذه الطريقة، وفيها حاصل ضرب ﺃ وﺟ يساوي ﺟ؛ لأن ﺃ يساوي واحدًا.
الأمثلة التي تناولناها حتى الآن تتعلق بمقادير ثلاثية تتضمن متغيرًا واحدًا فقط. في المثال الأخير سنتناول كيفية تحليل مقدار ثلاثي يتضمن متغيرين.
حلل ٤٨ﻡ أس أربعة زائد ٤٨ﻡ تربيع ﻥ ناقص ١٥ﻥ تربيع تحليلًا كاملًا.
في البداية نلاحظ أن معاملات الحدود الثلاثة كلها مضاعفات للعدد ثلاثة. ومن ثم يمكننا تحليل المقدار الثلاثي بأكمله بإخراج ثلاثة عاملًا مشتركًا؛ وهو ما يعطينا: ثلاثة مضروبًا في ١٦ﻡ أس أربعة زائد ١٦ﻡ تربيع ﻥ ناقص خمسة ﻥ تربيع. لندقق النظر في حدود المقدار الثلاثي. الحد الأول يتضمن ﻡ أس أربعة، ويساوي ﻡ تربيع الكل تربيع. والحد الثالث يتضمن ﻥ تربيع. والحد الأوسط يتضمن حاصل ضرب ﻡ تربيع وﻥ. يشير ذلك إلى أن الصورة التحليلية للمقدار الثلاثي هي: أﻡ تربيع زائد ﺏﻥ في ﺟﻡ تربيع زائد ﺩﻥ، مع تحديد قيم ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ.
علينا الآن إيجاد عددين مجموعهما يساوي معامل ﻡ تربيع ﻥ، وهو في هذه الحالة ١٦، وحاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب معاملي الحدين الأول والأخير. ١٦ مضروبًا في سالب خمسة يساوي سالب ٨٠. أزواج عوامل العدد ٨٠ هي كما هو موضح. بما أن حاصل الضرب لا بد أن يساوي سالب ٨٠، فإننا بحاجة إلى عاملين لهما إشارتان مختلفتان مجموعهما يساوي ١٦. العاملان الصحيحان هما ٢٠، وسالب أربعة. بإعادة كتابة الحد الثاني في المقدار الثلاثي على صورة مجموع حدين لهما هذان المعاملان، يصبح لدينا: ١٦ﻡ أس أربعة زائد ٢٠ﻡ تربيع ﻥ ناقص أربعة ﻡ تربيع ﻥ ناقص خمسة ﻥ تربيع.
بتقسيم هذا المقدار الرباعي إلى مقدارين ذوي حدين، وتحليل كل منهما على حدة؛ نحصل على: أربعة ﻡ تربيع مضروبًا في أربعة ﻡ تربيع زائد خمسة ﻥ ناقص ﻥ مضروبًا في أربعة ﻡ تربيع زائد خمسة ﻥ. ومن ثم فإن الصورة التحليلية للمقدار الثلاثي بعد تحليله تحليلًا كاملًا هي: ثلاثة مضروبًا في أربعة ﻡ تربيع ناقص ﻥ مضروبًا في أربعة ﻡ تربيع زائد خمسة ﻥ.
دعونا نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو.
لتحليل مقدار تربيعي معامله الرئيسي لا يساوي واحدًا على الصورة: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﺃ لا يساوي صفرًا أو واحدًا أو سالب واحد، اتبع الخطوات الآتية. اكتب أزواج عوامل ﺃﺟ. ابحث عن عاملين مع مراعاة إشارتيهما؛ بحيث يكون مجموعهما هو معامل ﺱ، إذ نلاحظ أنه إذا كان ﺃﺟ موجبًا فإن العددين ستكون لهما الإشارة نفسها، وإذا كان ﺃﺟ سالبًا فإن العددين ستكون لهما إشارتان مختلفتان. أعد كتابة الحد الأوسط في المقدار الثلاثي على صورة مجموع حدين معاملاهما هما العاملان اللذان أوجدناهما. قسم المقدار الرباعي الجديد إلى مقدارين ذوي حدين، وحلل كلًّا منهما. ابحث عن عامل مشترك ذي حدين لتحليل المقدار بأكمله.
إن تحليل مقدار تربيعي معامله الرئيسي يساوي واحدًا على الصورة: ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ حالة خاصة مما سبق، حيث ﺃ يساوي واحدًا. ومن ثم فإن ﺃﺟ يساوي ﺟ. وبالنسبة إلى تحليل مقدار ثلاثي يتضمن متغيرين؛ فإننا نبدأ بالنظر بإمعان إلى الحدود، ونحدد العاملين ذوي الحدين. يمكن إيجاد المعاملات باستخدام الطريقة نفسها المستخدمة في حالة المقادير التربيعية التي معاملاتها الرئيسية لا تساوي واحدًا. لاحظ أن بعض المقادير الثلاثية يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب أكثر من حدين بإخراج عامل مشترك أولًا.
الأساليب التي تطرقنا إليها هنا يمكن تطبيقها على مسائل في تخصصات أخرى من الرياضيات مثل الهندسة أو المسائل الواقعية، على الرغم من أننا لم نتناول ذلك في هذا الفيديو.