نسخة الفيديو النصية
كان التعداد السكاني لإحدى المدن ١/٣ مليون نسمة في ٢٠١٠، و٥ ملايين نسمة في ٢٠١٦. يمكن وصف التعداد السكاني في صورة متتابعة حسابية. أوجد المعادلة الخطية للتعداد السكاني ﺱ بالملايين مستخدمًا عدد السنين ﻥ، مع افتراض أن النمو السكاني ثابت، وحيث يكون ﻥ يساوي واحدًا في ٢٠١٠.
نعلم من معطيات هذا السؤال أن لدينا متتابعة حسابية. ما الذي يعنيه ذلك، إذن؟ حسنًا، المتتابعة الحسابية متتابعة تتضمن فرقًا مشتركًا بين كل حد من الحدود. وإذا ما نظرنا إلى متتابعة حسابية، فإن ما سنحصل عليه هو صورة عامة لكل حد. وتنص هذه الصورة العامة على أنه إذا كان لدينا ﺡﻥ، فإنه يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد ﺩ. وهذا حيث يكون ﻥ رقم الحد، وﺃ الحد الأول، وﺩ الفرق المشترك أو الثابت (أساس المتتابعة).
حسنًا، هذا رائع! تعرفنا إذن على هذه الصورة العامة. وأصبحنا نعرف ما المتتابعة الحسابية. فهي متتابعة تتضمن فرقًا مشتركًا أو ثابتًا بين كل حد. ولكن، كيف يمكننا استخدامها لحل هذه المسألة؟ دعونا نلق نظرة على المعطيات التي لدينا. أولًا، نعرف عدد السكان في السنة الأولى، ٢٠١٠. ونعرف أن هذه هي السنة الأولى لأننا نعلم من المعطيات أن ﻥ يساوي واحدًا في هذه السنة.
وهذا يعني أن ﺱ واحد يساوي ثلثًا. وهذا لأننا علمنا من المعطيات أن عدد السكان عام ٢٠١٠ يساوي ثلث مليون. وبما أننا نتعامل بالملايين طوال المسألة، فلن يكون علينا أن نكتب مليونًا. ويمكننا كتابة ﺱ واحد يساوي ثلثًا فقط. وجدير بالملاحظة أن هذا يساوي ﺃ في الصورة العامة.
بعد ذلك، نعرف من المعطيات أن عدد السكان يبلغ خمسة ملايين في عام ٢٠١٦. وهذا سيكون ﺱ سبعة لأنه سيكون الحد السابع. وعليه، يمكننا القول إن ﺱ سبعة يساوي خمسة. ومن ثم، يمكننا التعويض بهذه القيم في الصورة العامة لإيجاد قيمة ﺩ، أي الفرق المشترك أو الثابت.
وعندما نفعل ذلك، نحصل على خمسة يساوي ثلثًا زائد سبعة ناقص واحد ﺩ. وهو ما يعطينا خمسة يساوي ثلثًا زائد ستة ﺩ. بعد ذلك، سنطرح ثلثًا من طرفي المعادلة. لفعل ذلك، سنحول خمسة إلى أثلاث. خمسة يساوي ١٥ على ثلاثة. وإذا كان خمسة يساوي ١٥ على ثلاثة وطرحنا ثلثًا، يتبقى لدينا ١٤ على ثلاثة. إذن، أصبح لدينا ١٤ على ثلاثة يساوي ستة ﺩ.
وإذا قسمنا طرفي المعادلة على ستة، فسنحصل على ١٤ على ١٨ يساوي ﺩ. لتوضيح كيف حصلنا على هذا المقدار، إذا قسمنا ١٤ على ثلاثة على ستة، فسيكون الناتج هو نفسه ١٤ على ثلاثة مضروبًا في واحد على ستة، وهو ما يساوي ١٤ على ١٨. بعد ذلك، إذا بسطنا هذا المقدار، يمكننا القول إن ﺩ يساوي سبعة أتساع، أو سبعة على تسعة.
وإذا جمعنا كل هذه القيم لإيجاد قيمة ﺱ، وﺱ ترمز لتعداد السكان في أي سنة، فسنحصل على ثلث زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في سبعة أتساع. وهو ما يعطينا ﺱ يساوي ثلثًا زائد سبعة أتساع ﻥ ناقص سبعة أتساع.
وإذا بسطنا هذه المعادلة، فسنحصل على ﺱ يساوي سبعة أتساع ﻥ ناقص أربعة أتساع. وذلك لأنه إذا كان لدينا ثلث ناقص سبعة أتساع، فإن ثلثًا يساوي ثلاثة أتساع. وثلاثة أتساع ناقص سبعة أتساع يعطينا سالب أربعة أتساع. وإذا أخذنا تسعًا بصفتها عاملًا، فسنحصل على ﺱ يساوي تسعًا مضروبًا في سبعة ﻥ ناقص أربعة. وهذه هي المعادلة الخطية للتعداد السكاني ﺱ بالملايين.
