نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لجذر ثلاثة ﺱ أس سبعة زائد ﺱ أس تسعة على تسعة زائد ستة 𝜋.
نلاحظ أن الدالة التي طلب منا اشتقاقها هي دالة كثيرة الحدود لـ ﺱ. هناك نوعان من النتائج الأساسية التي علينا تذكرها. أولًا، إذا اشتققنا مجموع دوال أو مجموع حدود كما لدينا هنا، فالمشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ د ﺱ زائد ر ﺱ تساوي المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ د ﺱ زائد المشتقة بالنسبة لـ ﺱ لـ ر ﺱ. وفي الأساس، يمكننا اشتقاق كل حد على نحو مستقل وجمع المشتقات معًا.
ثانيًا، نتذكر قاعدة القوة للاشتقاق. لأي عدد حقيقي ﻥ، المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ ﺱ أس ﻥ تساوي ﻥ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نضرب في الأس الأصلي، ثم نطرح واحدًا من الأس. توجد حالة خاصة وهي أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لثابت ﺙ تساوي صفرًا، وهو ما يمكننا فهمه إذا فكرنا في أن ﺙ يساوي ﺙ مضروبًا في ﺱ أس صفر. عند الاشتقاق، نضرب في أس صفر، وبذلك تكون الإجابة صفرًا.
وأخيرًا، نتذكر أيضًا أننا إذا أردنا إيجاد المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لثابت ﺃ مضروبًا في د ﺱ، فإن هذا يساوي ﺃ مضروبًا في المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ د ﺱ. يمكننا اشتقاق الدالة ثم الضرب في الثابت ﺃ. هيا نستخدم كل هذه القواعد لإيجاد قيمة المشتقة المطلوب إيجادها.
توضح لنا القاعدة الأولى أنه يمكننا اشتقاق كل حد على حدة. إذن دعونا نبدأ بجذر ثلاثة ﺱ أس سبعة. حسب القاعدة الثانية، اشتقاق ﺱ أس سبعة سيعطينا سبعة ﺱ أس ستة. ووفقًا للقاعدة الأخيرة، يمكننا فقط ضربه في ثابت جذر ثلاثة. ثم نشتق الحد الثاني. مشتقة ﺱ أس تسعة وفقًا للقاعدة الثانية تساوي تسعة ﺱ أس ثمانية. ووفقًا للقاعدة الرابعة، يمكننا الضرب في هذا العامل الذي يساوي تسعًا. وأخيرًا، نشتق ستة 𝜋 ونذكر أن هذا مجرد ثابت. ومن ثم، فإن مشتقتها بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا.
يمكننا حذف العامل تسعة في هذا الحد الثاني ليتبقى لدينا ﺱ أس ثمانية. ويبسط الحد الأول إلى سبعة جذر ثلاثة ﺱ أس ستة. إذن، لقد تذكرنا قواعد الاشتقاق الأساسية هذه، وأهمها قاعدة القوة. وعن طريق ذلك وجدنا أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لهذه الدالة كثيرة الحدود تساوي سبعة جذر ثلاثة ﺱ أس ستة زائد ﺱ أس ثمانية.
