فيديو: المتغير العشوائي المتصل

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نصف دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي متصل ونستخدم ذلك لإيجاد احتمال وقوع حدث ما. سنبدأ بتناول بعض التعريفات الأساسية.

المتغير العشوائي المتصل هو متغير عشوائي يمكن أن يأخذ عددًا لا نهائيًّا من القيم. على سبيل المثال، الزمن المستغرق لإنجاز أمر معين هو زمن متصل؛ وذلك لأن هناك عددًا لا نهائيًّا من الفترات الزمنية الممكنة التي يمكن أخذها. هذا يعني أن احتمال اتخاذ متغير عشوائي متصل لقيمة معينة يساوي صفرًا. ونتيجة لذلك، نستخدم دالة كثافة الاحتمال لحساب الاحتمالات عند التعامل مع متغيرات عشوائية متصلة.

تستخدم دالة كثافة الاحتمال لتحديد احتمال وقوع المتغير العشوائي في نطاق معين من القيم. وهذا يحقق الشروط التالية. لأي متغير عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ، يجب أن تكون ﺩﺱ أكبر من أو تساوي صفرًا. كما يجب أيضًا أن يكون تكامل ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين حدي التكامل سالب ∞ و∞ مساويًا لواحد.

بما أن التكامل يحسب المساحة أسفل المنحنى وأعلى المحور ﺱ، عند التعامل مع دالة كثافة الاحتمال، فإن المساحة تحت المنحنى ستساوي واحدًا. وعليه، يمكننا استخدام دالة كثافة الاحتمال لحساب احتمال وقوع المتغير ﺱ بين قيمتين. وبما أننا نتعامل مع دوال متصلة، فإن احتمال أن يكون ﺱ أكبر من ﺃ وأصغر من ﺏ هو نفسه احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ﺃ وأصغر من أو يساوي ﺏ. وفي كلتا الحالتين، يمكننا حساب الاحتمال عن طريق إيجاد تكامل دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين حدي التكامل ﺃ وﺏ.

في المثال الأول، سنحسب الاحتمال بين حدي تكامل باستخدام التمثيل البياني.

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ الموضحة بالتمثيل البياني التالي. أوجد احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي أربعة وأصغر من أو يساوي خمسة.

نحن نعلم أنه عند التعامل مع متغير عشوائي متصل، فإن المساحة الواقعة بين منحنى دالة كثافة الاحتمال والمحور ﺱ تساوي واحدًا. ونعلم أيضًا أنه لحساب احتمال أخذ المتغير العشوائي قيمة ما بين ﺃ وﺏ، علينا إيجاد تكامل دالة كثافة الاحتمال بالنسبة إلى ﺱ بين حدي التكامل ﺃ وﺏ. في هذا السؤال، لا يوجد تعبير للدالة ﺩﺱ. لذا، سنستخدم التمثيل البياني لحساب الاحتمال.

علينا حساب احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي أربعة وأصغر من أو يساوي خمسة. وهذا يعني المساحة التي تقع بين قيمتي ﺱ، وهما أربعة وخمسة. المساحة التي علينا حسابها على شكل شبه منحرف. ونحن نعرف أن مساحة شبه المنحرف تساوي ﻡ زائد ﻥ مقسومًا على اثنين مضروبًا في ﻉ، حيث ﻡ وﻥ طولا الضلعين المتوازيين، وﻉ المسافة العمودية بينهما.

طول أحد الضلعين المتوازيين يساوي ربعًا. وجزء المنحنى الذي ينحدر لأسفل له ميل ثابت. هذا يعني أنه بما أن العدد خمسة يقع في منتصف المسافة بين أربعة وستة على المحور ﺱ، فسيكون الارتفاع على المحور ﺹ في المنتصف بين صفر وربع. وهذا يساوي ثمنًا. إذن، مساحة شبه المنحرف تساوي ربعًا زائد ثمن مقسومًا على اثنين الكل مضروب في واحد. ربع زائد ثمن يساوي ثلاثة أثمان. لذا، علينا قسمة ثلاثة أثمان على اثنين. لسنا بحاجة إلى كتابة الواحد لأن ضرب أي قيمة في واحد يعطينا القيمة نفسها. ثلاثة أثمان على اثنين يساوي ثلاثة على ١٦. يمكننا إذن استنتاج أن احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي أربعة وأصغر من أو يساوي خمسة هو ثلاثة على ١٦.

في السؤال التالي، سنستخدم التكامل لحساب احتمال أن يكون ﺱ أكبر من قيمة معينة.

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ تساوي واحدًا على ٦٣، إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي تسعة وأصغر من أو يساوي ٧٢، وتساوي صفرًا فيما عدا ذلك. أوجد احتمال أن يكون ﺱ أكبر من ٦٤.

نحن نعلم أنه عند التعامل مع متغير عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ، فإن احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ﺃ وأصغر من أو يساوي ﺏ يساوي تكامل ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين حدي التكامل ﺃ وﺏ. تجدر الإشارة إلى أنه بما أن المتغير العشوائي متصل، فلا يهم إذا ما كانت علامة المتباينة أكبر من، أو أكبر من أو يساوي. يمكننا أن نلاحظ من السؤال أن قيمة ﺩﺱ لا تساوي صفرًا عندما تقع قيمة ﺱ بين تسعة و٧٢ متضمنة هذين العددين.

هذا يعني أن احتمال أن يكون ﺱ أكبر من ٦٤ هو نفسه احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ٦٤ وأصغر من أو يساوي ٧٢. يمكننا حساب ذلك بإيجاد تكامل الدالة واحد على ٦٣ بالنسبة إلى ﺱ بين حدي التكامل هذين. تكامل أي ثابت بالنسبة إلى ﺱ يعطينا هذا الثابت مضروبًا في ﺱ. ومن ثم، يصبح لدينا ﺱ على ٦٣ بين حدي التكامل ٦٤ و٧٢. وبالتعويض بقيمة كل من الحدين، نحصل على ٧٢ على ٦٣ ناقص ٦٤ على ٦٣. وبما أن المقامين متساويان، نطرح البسطين، وهو ما يعطينا ثمانية على ٦٣. إذن، احتمال أن يكون ﺱ أكبر من ٦٤ هو ثمانية على ٦٣.

كان بإمكاننا الإجابة عن هذا السؤال أيضًا باستخدام التمثيل البياني. نحن نعلم من المعطيات أن دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ تساوي واحدًا على ٦٣ عندما يقع ﺱ بين تسعة و٧٢، وتساوي صفرًا فيما عدا ذلك. ومن ثم، يكون التمثيل البياني للدالة كما هو موضح. وبما أنه علينا حساب احتمال أن يكون ﺱ أكبر من ٦٤، فعلينا حساب مساحة المستطيل الموضح. عرض هذا المستطيل يساوي ثمانية، وطوله يساوي واحدًا على ٦٣. بضرب هاتين القيمتين معًا، نحصل على ثمانية على ٦٣. وهذا يؤكد أننا توصلنا إلى الإجابة الصحيحة فيما يتعلق باحتمال أن يكون ﺱ أكبر من ٦٤.

في المثال التالي، علينا إيجاد قيمة مجهول في دالة كثافة الاحتمال.

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ، إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي واحدًا وأصغر من أو يساوي خمسة، وتساوي صفرًا فيما عدا ذلك. أوجد قيمة ﺃ.

نحن نعلم أنه بالنسبة إلى أي متغير عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ، فإن تكامل ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ لكل القيم الواقعة بين سالب ∞ و∞ يساوي واحدًا. في هذا السؤال، ﺩﺱ يساوي صفرًا عندما يكون ﺱ أكبر من خمسة وأصغر من واحد. يعني هذا أن ما يعنينا فقط هو المساحة التي يكون فيها ﺱ أكبر من أو يساوي واحدًا وأصغر من أو يساوي خمسة. تكامل ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين واحد وخمسة يساوي واحدًا. وبما أن ﺃ ثابت، فإن تكامل ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃﺱ تربيع على اثنين.

سنعوض الآن بحدي التكامل خمسة وواحد في هذا التعبير. عند ﺱ يساوي خمسة، فإن ﺃﺱ تربيع على اثنين يساوي ٢٥ﺃ على اثنين. وعند ﺱ يساوي واحدًا، يصبح لدينا واحد ﺃ على اثنين أو ﺃ على اثنين. ٢٥ﺃ على اثنين ناقص ﺃ على اثنين يساوي واحدًا. بتبسيط الطرف الأيمن، نحصل على ٢٤ﺃ على اثنين، وهو ما يبسط بدوره إلى ١٢ﺃ. يمكننا بعد ذلك قسمة طرفي هذه المعادلة على ١٢، فيصبح لدينا ﺃ يساوي واحدًا على ١٢. إذن، إذا كانت دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي واحدًا وأصغر من أو يساوي خمسة، وتساوي صفرًا فيما عدا ذلك، فإن ﺃ يساوي واحدًا على ١٢.

سنتناول الآن مثالين أكثر تعقيدًا قليلًا.

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ تساوي ﺱ على ثمانية، إذا كان ﺱ أكبر من اثنين وأصغر من ثلاثة؛ وتساوي واحدًا على ٤٨، إذا كان ﺱ أكبر من ثلاثة وأصغر من ٣٦ ؛ وتساوي صفرًا فيما عدا ذلك. أوجد احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ١١ وأصغر من أو يساوي ٢٤.

نحن نعلم أنه عند التعامل مع متغير عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ، فإن احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ﺃ وأصغر من أو يساوي ﺏ يساوي التكامل المحدد لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين حدي التكامل ﺃ وﺏ. في هذا السؤال، قيمتا ﺃ وﺏ هما ١١ و٢٤، على الترتيب. وهاتان القيمتان تقعان بين ثلاثة و٣٦. يعني هذا أننا سنستخدم الجزء الثاني من الدالة ﺩﺱ. احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ١١ وأصغر من أو يساوي ٢٤ يساوي تكامل واحد على ٤٨ بالنسبة إلى ﺱ بين ١١ و٢٤.

تكامل واحد على ٤٨ بالنسبة إلى ﺱ يعطينا ﺱ على ٤٨. نعوض بعد ذلك بقيمتي حدي التكامل ٢٤ و١١ في هذا التعبير. وهذا يعطينا ٢٤ على ٤٨ ناقص ١١ على ٤٨. وبما أن المقامين متساويان، نطرح البسطين. إذن، احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ١١ وأصغر من أو يساوي ٢٤ هو١٣ على ٤٨.

في المثال الأخير، سنحتاج مرة أخرى إلى حساب قيمة ثابت في دالة كثافة احتمال.

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ زائد ﻙ مقسومًا على ٢١، إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة وأصغر من أو يساوي أربعة، وتساوي صفرًا فيما عدا ذلك. أوجد قيمة ﻙ.

نحن نعلم أنه عند التعامل مع متغير عشوائي متصل، فإن تكامل دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين القيمتين سالب ∞ و∞ يساوي واحدًا. في هذا السؤال، نعلم أن الدالة ﺩﺱ تساوي صفرًا إذا كان ﺱ أكبر من أربعة وأصغر من ثلاثة. هذا يعني أن تكامل الدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين ثلاثة وأربعة لا بد أن يساوي واحدًا. علينا إيجاد تكامل أربعة ﺱ زائد ﻙ على ٢١ بالنسبة إلى ﺱ بين الحدين ثلاثة وأربعة. لتسهيل التكامل، يمكننا أخذ العامل واحد على ٢١ إلى الخارج. تكامل أربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يعطينا أربعة ﺱ تربيع على اثنين. ويمكن تبسيط هذا إلى اثنين ﺱ تربيع. تكامل الثابت ﻙ بالنسبة إلى ﺱ يعطينا ﻙﺱ. وبذلك نحصل على التعبير واحد على ٢١ مضروبًا في اثنين ﺱ تربيع زائد ﻙﺱ بين حدي التكامل أربعة وثلاثة.

بالتعويض بـ ﺱ يساوي أربعة داخل القوسين، نحصل على اثنين مضروبًا في أربعة تربيع زائد ﻙ مضروبًا في أربعة. ويمكن تبسيط هذا إلى ٣٢ زائد أربعة ﻙ. بالتعويض بـ ﺱ يساوي ثلاثة، نحصل على اثنين مضروبًا في ثلاثة تربيع زائد ﻙ مضروبًا في ثلاثة. ويمكن تبسيط هذا إلى ١٨ زائد ثلاثة ﻙ. وعليه، يبسط التعبير لدينا إلى واحد على ٢١ مضروبًا في ٣٢ زائد أربعة ﻙ ناقص ١٨ زائد ثلاثة ﻙ. وبتجميع الحدود المتشابهة، يمكن تبسيط هذا أيضًا إلى واحد على ٢١ مضروبًا في ١٤ زائد ﻙ. هذا هو تكامل دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ بين حدي التكامل ثلاثة وأربعة.

لدينا الآن المعادلة واحد على ٢١ مضروبًا في ١٤ زائد ﻙ يساوي واحدًا. بضرب طرفي هذه المعادلة في ٢١، نحصل على ١٤ زائد ﻙ يساوي ٢١. وأخيرًا، نطرح ١٤ من الطرفين، فنحصل على ﻙ يساوي سبعة. وعليه، إذا كانت دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ زائد ﻙ مقسومًا على ٢١ عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة وأصغر من أو يساوي أربعة، فإن ﻙ يساوي سبعة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عرفنا في هذا الفيديو أن المتغير العشوائي المتصل يمكن أن يأخذ عددًا لا نهائيًّا من القيم. تسمح لنا دالة كثافة الاحتمال بحساب احتمال وقوع المتغير العشوائي في نطاق من القيم. لأي دالة كثافة احتمال ﺩﺱ، يجب أن تكون ﺩﺱ أكبر من أو تساوي صفرًا. وتكامل الدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ لجميع القيم بين سالب ∞ و∞ يجب أن يساوي واحدًا.

عند محاولة حساب احتمال وقوع ﺱ بين قيمتين حيث ﺱ أكبر من أو يساوي ﺃ وأصغر من أو يساوي ﺏ، فإننا نوجد تكامل دالة كثافة الاحتمال ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين حدي التكامل ﺃ وﺏ.