فيديو قصير: ليس كل العالقين في المصعد يقدرون أهمية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

اتضح أنه ليس كل العالقين في المصعد يعون أهمية معادلات نيوتن المتعلقة بالحركة. قبل بضع سنوات، وجدت نفسي عالقًا في مصعد مع خمسة من زملائي عند نقطة ما بين الطابق الأرضي والطابق السابع، وكنا في طريقنا لحضور اجتماع. لو كنا في أمريكا، لقلنا إننا علقنا في المصعد في نقطة ما بين الطابقين الأول والثامن.

في الدور الأرضي، دخلنا جميعًا إلى المصعد، وضغط أحدنا على الزر الذي يحمل الرقم سبعة، وأغلق الباب وبدأ المصعد في التحرك، وكنا نناقش مبتهجين مزايا وعيوب استخدام رموز مختلفة كفواصل بين عناصر البيانات في بروتوكولنا الخاص بالتواصل بين التطبيقات لنقل الرسائل الحاسوبية، وذلك حتى قبل بدء الاجتماع رسميًّا.

اقترح أحد الزملاء قائلًا: «أقترح أن نستخدم الشرطة المائلة.» وتطرق العديد منا مجددًا إلى الفروق بين اللغة الإنجليزية في المملكة المتحدة والولايات المتحدة الأمريكية. وفجأة، سمعنا صوت ارتطام، وتوقف المصعد تمامًا. لقد علقنا. رفعت سماعة «هاتف النجدة» المثبت في المصعد، وقيل لي إنه سيجرى استدعاء مهندس الصيانة، لكن الأمر قد يستغرق ساعتين.

كان الجو العام يسوده المرح إلى حد ما، وبدأنا نفكر فيما إذا كان بإمكاننا نجدة أنفسنا في تلك الأثناء. تمكن اثنان منا من فتح باب المصعد، آملين أن نستطيع الخروج متسلقين واستخدام الدرج. لكن لسوء الحظ، كان هناك زوج آخر من الأبواب خلفه، ولم نتمكن من فتحهما، فقد كانا مغلقين بإحكام. بدا أننا لن نستطيع الخروج على أي حال، ومن ثم أجرينا الاجتماع داخل المصعد ثم تبادلنا أطراف الحديث.

بعد برهة، فتر الحديث ولمحت فجوة صغيرة بين البابين المفتوحين، وكان تحتها مسقط بئر المصعد. فقلت إننا لو أسقطنا بنسًا من هذه الفتحة وحسبنا كم ثانية سيستغرقها حتى يصل إلى الأرض، فيمكننا حينها استخدام إحدى معادلات إسحاق نيوتن الخاصة بحركة الأجسام بعجلة ثابتة، وذلك لمعرفة المسافة التي نبعدها عن الأرض.

‏‪‏𝑆‬‏ يساوي ‪𝑢𝑡‬‏ زائد نصف في ‪𝑎𝑡‬‏ تربيع، حيث ‪𝑆‬‏ هي المسافة المقطوعة بالأمتار، و‪𝑢‬‏ هي السرعة الابتدائية للجسم بالأمتار لكل ثانية، و‪𝑡‬‏ هو الزمن المستغرق بالثواني، و‪𝑎‬‏ هو المعدل الثابت لعجلة الجسم بالأمتار لكل ثانية لكل ثانية.

كانت سرعة البنس الابتدائية ستكون صفرًا إذا أسقطناه من حالة السكون، بدلًا من رميه بقوة عبر الفتحة. وهذا يعني أن الحد الأول كان صفرًا مضروبًا في الزمن، وهو ما يساوي صفرًا وحسب، ومن ثم يمكننا تجاهله. تذكرت حينها أن مقدار العجلة بفعل قوة الجاذبية يساوي حوالي ٩٫٨ مترًا لكل ثانية لكل ثانية. وسنتجاهل مقاومة الهواء، التي اعتقدنا أنها ستكون شبه معدومة بالنسبة إلى بنس صغير في ظل هذه الظروف عند الارتفاع الذي نحن عليه. وسنحصل من ذلك على مقدار العجلة الثابتة الذي نحتاجه لاستخدام هذه الصيغة.

إذن يبدأ البنس في السقوط عند صفر متر لكل ثانية. ومع كل ثانية تمر، ستزيد سرعته بمقدار ٩٫٨ أمتار لكل ثانية. بعد مرور ثانية واحدة، ستكون سرعته قد بلغت ٩٫٨ أمتار لكل ثانية. وبعد ثانيتين، ستكون سرعته ١٩٫٦ مترًا لكل ثانية. وبعد ثلاث ثوان، ستكون سرعته ٢٩٫٤ مترًا لكل ثانية، وهكذا. وبهدف التيسير، يمكننا تقريب مقدار العجلة إلى ١٠ أمتار لكل ثانية لكل ثانية لتسهيل حساباتنا؛ حيث لم يكن بحوزة أحد منا آلة حاسبة.

إذن، كل ما كان علينا فعله لحساب ارتفاعنا عن الأرض هو أن نسقط البنس، ونعد كم ثانية استغرقها ليصل إلى الأرض، ثم نحسب تربيع ذلك العدد، ونضرب الناتج في ١٠، ثم نقسم ناتج ذلك على اثنين. بدا الأمر مسليًا للمجموعة ورفع معنوياتهم بعض الشيء. بإمكاننا إجراء تجربة علمية وإضافة تعديل مثير إلى رواية احتجازنا داخل المصعد لمدة ساعتين في الصباح.

حسنًا، أسقطنا بنسًا عبر الفتحة، وبدأنا في العد لحساب الزمن الذي استغرقه للوصول إلى قاع بئر المصعد. استغرق الأمر ثانيتين تقريبًا. والمسافة كانت حوالي نصف في ١٠ في اثنين تربيع، وهو ما يساوي ٢٠ مترًا. بدا ذلك سقوطًا لمسافة بعيدة، فتغير المزاج العام للمجموعة فور استيعابنا لهذه المعلومة.

وبحسبة واحدة بسيطة، تحولنا من مجموعة أشخاص هادئين يتبادلون أطراف الحديث إلى مجموعة أشخاص محبوسين في مساحة ضيقة في ظروف خطرة، وخمسة منهم كانوا يريدون إلقائي في بئر المصعد. لحسن حظي، لم تكن الفتحة كبيرة بما يكفي لتمكينهم من ذلك.

نبهتهم إلى أننا قد بالغنا قليلًا في تقدير الارتفاع، حيث استخدمنا قيمة ١٠ أمتار لكل ثانية لكل ثانية للتعبير عن مقدار العجلة الناتجة عن الجاذبية، بدلًا من ٩٫٨. في الواقع، كان حساب نصف في ٩٫٨ في اثنين تربيع عملية سهلة للغاية لا تستدعي استخدام الآلة الحاسبة. فالضرب هو عملية إبدالية وتجميعية، ومن ثم يمكننا ضرب نصف في اثنين تربيع أولًا لنحصل على اثنين، ثم نضرب ذلك في ٩٫٨.

كان هذا يعني أننا كنا على ارتفاع ١٩٫٦ مترًا فقط. اختصرت المسافة بمقدار ٤٠ سنتيمترًا. لكنهم ظلوا غير راضين. فقلت: «أيضًا، حسبنا الزمن بمقدار ثانيتين، لكنه ربما كان أقل، ربما كان ثانية ونصف الثانية، حيث من الصعب جدًّا حساب مدة زمنية قصيرة إلى هذا الحد دون استخدام آلة دقيقة لحساب الزمن.» كان ذلك يعني أننا كنا عند ارتفاع يزيد قليلًا عن ١١ مترًا فوق سطح الأرض. ثم قال أحدهم: «لا يزال الأمر يشبه القفز من فوق ثلاث حافلات ذات طابقين موضوعة بعضها فوق بعض؛ بارتفاع أربعة أمتار تقريبًا لكل منها، إذن فإن الوضع لم يعد أفضل كثيرًا مما كان.» ثم أضاف آخر قائلًا: «وربما نكون قد قدرنا الزمن بأقل مما هو عليه في الواقع؛ فلربما كان ثانيتين ونصف الثانية. فكم سيكون ارتفاعنا إذن؟» حسبتها وقلت: «حوالي ٣٠ مترًا». فأضاف الأول: «هذا يعادل ارتفاع ما يقرب من ثماني حافلات ذات طابقين».

رددت عليه قائلًا: «حسنًا. أظن أن جميعنا قد تعلم شيئًا هنا، فيما يخص الحدود العليا والسفلى على سبيل المثال. عند محاولة قياس أي شيء، يكون هناك حد لمدى الدقة الممكنة في القياس. ولذا، من الخطأ أن تعطي إجابة واحدة فقط. في حالتنا، ومع الأخذ في الحسبان هامش الخطأ في تقديرنا للزمن، بفارق نصف ثانية أقل أو أكثر، يمكننا القول بثقة إننا كنا على ارتفاع يتراوح ما بين حوالي ١١ مترًا و ٣٠ مترًا فوق سطح الأرض. يعطينا ذلك صورة واقعية لدقة قياساتنا.»

ثم قال أحدهم: «لكن ألا نحتاج إلى معرفة وزن البنس؟ فالأجسام الأثقل وزنًا تسقط بالتأكيد أسرع من الأجسام الأخف وزنًا.» كانت هذه نقطة مثيرة للاهتمام. إذا أسقطت ريشة ومطرقة معًا، فبالطبع ستصل المطرقة الأثقل وزنًا إلى الأرض أولًا، بينما الريشة الأخف وزنًا ستطير على مهل إلى أن تصل إلى الأرض في وقت لاحق. وهذا بسبب مقاومة الهواء.

هناك مقاطع فيديو رائعة من بعثة وكالة ناسا «أبوللو ١٥ » عام ١٩٧١ تظهر إسقاط رائد الفضاء ديفيد سكوت مطرقة وريشة على سطح القمر، حيث لا غلاف جوي ينتج مقاومة للهواء. سقط الاثنان بالسرعة نفسها ووصلا إلى سطح القمر معًا. لم تؤثر كتلة كل منهما على المعدل الذي تسارعا به نحو سطح القمر في ظل غياب مقاومة الهواء.

أثناء سقوط جسم ما نحو الأرض، تؤثر عليه قوة بفعل الجاذبية، وتشده لأسفل. لكن كلما زادت سرعته، زادت قوة مقاومة الهواء المضادة لقوة الجاذبية، ما يضعف من محصلة القوة التي تشده لأسفل ومن ثم يقلل العجلة.

مقاومة الهواء تساوي كثافته بالكيلوجرامات لكل متر مكعب في معامل السحب للبنس، وقيمته ثابتة لذلك البنس تحديدًا، في مساحة سطح البنس المواجه لأسفل أثناء سقوطه، بالأمتار المربعة، في مربع السرعة بالأمتار لكل ثانية، الكل مقسوم على اثنين.

التقدير المعقول لكثافة الهواء عند حوالي ١٥ درجة مئوية في الطابق الأرضي هو حوالي ١٫٢٢٥ كيلوجرام لكل متر مكعب. قطر البنس البريطاني هو حوالي ٢٠ ملليمترًا، وسمكه حوالي ١٫٥ ملليمتر. فإذا سقط على جانبه، فإنه يشغل مساحة قدرها ٣٠ ملليمترًا مربعًا تقريبًا. ما يساوي ٠٫٠٠٠٠٣ متر مربع.

أما معامل السحب، فحسابه أصعب بعض الشيء. في الوضع الأمثل، كنت سترمي بنسًا في إحدى قنوات التهوية، وتأخذ الكثير من القياسات، وتحسب قيمة تجريبية تقريبية. ليس بإمكاني الوصول إلى قناة تهوية، لكن بالبحث عبر الإنترنت وجدت بعض التقديرات التي تتراوح بين حوالي ٠٫٥ و ١٫١٧. سأفترض جدلًا أن معامل السحب يبلغ ٠٫٨. وبحساب ذلك، نتوصل إلى أن مقاومة الهواء تساوي ٠٫٠٠٠٠١٤٧ في مربع السرعة.

وبما أن سقوط العملة المعدنية استغرق ثانيتين فقط، فإن سرعتها لم تبلغ مستويات عالية جدًّا، ومن ثم ستكون مقاومة الهواء ضئيلة جدًّا. لكن مع زيادة السرعة، تزداد مقاومة الهواء. وعند نقطة ما، ستعادل قوة الجاذبية، وسيستمر البنس في السقوط بتلك السرعة دون أي عجلة إضافية. وتلك تسمى السرعة النهائية.

فما السرعة النهائية لسقوط بنس بريطاني؟ حسنًا، هناك صيغة لحساب هذا. السرعة النهائية تساوي الجذر التربيعي لاثنين في ‪𝑚‬‏ في ‪𝑔‬‏ على ‪𝜌‬‏ في ‪𝐴‬‏ في ‪𝐶‬‏، حيث ‪𝑚‬‏ هو كتلة العملة المعدنية بالكيلوجرامات، و‪𝑔‬‏ هو العجلة بفعل الجاذبية بالأمتار لكل ثانية لكل ثانية، و‪𝜌‬‏ هو كثافة المائع الذي يمر خلاله الجسم أثناء سقوطه بالكيلوجرامات لكل متر مكعب، و‪𝐴‬‏ هو المساحة التي يشغلها سطح الجسم في المائع بالأمتار المربعة، و‪𝐶‬‏ هو معامل السحب، وهو مرة أخرى عدد ثابت.

والآن، باستخدام ما افترضته من أن العملة المعدنية تسقط مائلة على جانبها، ومن ثم يشغل سطحها مساحة صغيرة جدًّا، وأن معامل السحب مرة أخرى هو ٠٫٨، والكتلة تبلغ ٣٫٥ جرامات، نتوصل إلى أن السرعة النهائية تساوي ٤٨٫٣ مترًا لكل ثانية. ويعادل ذلك حوالي ١٠٨ أميال لكل ساعة.

وجدت على شبكة الإنترنت عدة عمليات حسابية تقول إن السرعة النهائية للبنس أقرب إلى ١١٫١ مترًا لكل ثانية. لكنها تخص البنسات الأمريكية، وهي أصغر قليلًا وأخف من البنسات البريطانية. وقد افترضوا أن البنس سيكون وجهه نحو الأسفل طوال رحلة السقوط، وستكون مساحته المسقطة أكبر بكثير، كما سيكون معامل سحبه ١٫١٧. فقد استخدموا طريقتي نفسها، لكن استنادًا إلى عملة معدنية مختلفة وافتراضات مختلفة حول كيفية سقوطها.

فأنا أفترض أن العملة المعدنية تنقلب بضع مرات أثناء سقوطها. ومن ثم، فإن الناتج الذي حصلت عليه في الغالب أعلى من مقدار السرعة النهائية لبنس بريطاني، وفي الغالب أيضًا فإن الناتج الذي وجدته على الإنترنت أقل من مقدار السرعة النهائية لبنس أمريكي. على أي حال، ما نستخلصه من هذا كله هو أن العملة المعدنية لا تتسارع بمعدل ثابت. فمع كل ثانية تمر، لا نضيف ببساطة ٩٫٨ أمتار لكل ثانية إلى السرعة كما كنا سنفعل في الفضاء. بل نضيف مقدارًا أقل قليلًا كل ثانية، حتى تصل العملة المعدنية إلى سرعتها النهائية. معدل العجلة يقل مع الوقت، ومعادلة الحركة التي استخدمناها لا تنطبق هنا.

في حال الارتفاع المحدود الوارد في التجربة، أعطتنا المعادلة تقديرًا معقولًا. لكن، نظرًا لأن العملة المعدنية كانت تتحرك أبطأ قليلًا مما كنا نعتقد بمرور الوقت، فقد توصلنا إلى تقدير مبالغ فيه بعض الشيء للارتفاع الذي كنا عليه.

فماذا كان ارتفاعنا الفعلي إذن؟ في نهاية الأمر، أتى مهندس صيانة المصاعد وفتح لنا الباب. واكتشفنا أننا كنا عند نصف المسافة تقريبًا بين الطابقين الرابع والخامس. وبافتراض أن ارتفاع كل طابق من طوابق البناية كان حوالي ٤٫٣ أمتار وأنه كانت هناك حفرة أسفل بئر المصعد ربما بارتفاع متر واحد، إذن فقاعدة المصعد كانت أعلى من الأرض بما يزيد قليلًا عن ٢٠ مترًا. وعليه، فإن الأخطاء في القياسات والعمليات الحسابية التي استخدمناها قد ألغت لحسن الحظ تأثير بعضها الآخر، وأعطتنا تقريبًا الإجابة الصحيحة.