فيديو السؤال: إيجاد حجم هرم قائم بحساب ارتفاعه أولًا باستخدام نظرية فيثاغورس الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

‏ﻡﺃﺏﺟﺩ هرم قائم قاعدته ﺃﺏﺟﺩ مربع طول ضلعه ستة سنتيمترات، ﻡﺃ يساوي ﻡﺏ يساوي ﻡﺟ يساوي ﻡﺩ يساوي ٤٩ سنتيمترًا. أوجد حجم الهرم لأقرب جزء من مائة.

لنبدأ برسم هذا الهرم. نعلم من السؤال أن قاعدة الهرم ﺃﺏﺟﺩ مربع طول ضلعه ستة سنتيمترات. نعلم أيضًا أن هذا هرم قائم، وهو ما يعني أن رأسه يقع رأسيًّا فوق مركز قاعدته. قياس طول كل من هذه القطع المستقيمة أو الأحرف ﻡﺃ، ﻡﺏ، ﻡﺟ، ﻡﺩ ٤٩ سنتيمترًا.

مطلوب منا حساب حجم الهرم؛ لذا علينا تذكر صيغة حساب حجم الهرم. هذه الصيغة هي ثلث مضروبًا في مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع. قيمة مساحة القاعدة لا تمثل مشكلة؛ لأن القاعدة مربع طول ضلعه ستة سنتيمترات. لكن ماذا عن ارتفاع الهرم؟ دعونا نضف هذا الارتفاع إلى الشكل. تذكر أنه نظرًا إلى أن هذا الهرم قائم، فإن رأسه يقع مباشرة فوق مركز القاعدة الذي سنسميه النقطة ﺱ. يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية داخل الهرم باستخدام هذا الارتفاع، وطول الحرف ﻡﺃ، وطول القطعة المستقيمة ﺃﺱ التي تصل أحد أركان قاعدة الهرم بمركز القاعدة.

يمكننا حساب طول هذه القطعة المستقيمة بالنظر أولًا إلى المثلث القائم الزاوية في قاعدة الهرم. ‏ﺃﺟ؛ أي قطر القاعدة المربعة ﺃﺏﺟﺩ، هو وتر هذا المثلث القائم الزاوية. إذن، بتطبيق نظرية فيثاغورس، التي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، يكون مربع طول الوتر مساويًا لمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، نجد أن ﺃﺟ تربيع يساوي ستة تربيع زائد ستة تربيع. ستة تربيع يساوي ٣٦، إذن ﺃﺟ تربيع يساوي ٧٢. وﺃﺟ يساوي الجذر التربيعي لـ ٧٢، وهو ما يساوي بعد التبسيط ستة جذر اثنين.

بما أن النقطة ﺱ هي مركز القاعدة، فإن طول ﺃﺱ هو نفسه طول ﺱﺟ. من ثم، يمكننا قسمة طول ﺃﺟ على اثنين لنحصل على ﺃﺱ يساوي ستة جذر اثنين على اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة جذر اثنين سنتيمتر.

في ضوء الشكل الذي رسمناه للهرم، يمكننا الآن تطبيق نظرية فيثاغورس مرة أخرى، ولكن هذه المرة في المثلث القائم الزاوية المكون من الأضلاع ﺱﻡ، ﺱﺃ، ﺃﻡ. بتطبيق النظرية، نحصل على المعادلة: ثلاثة جذر اثنين تربيع زائد ﻉ تربيع يساوي ٤٩ تربيع. بحساب قيمة المربعات ثم طرح ١٨ من الطرفين، نجد أن ﻉ تربيع يساوي ٢٣٨٣. من ثم، ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٣٨٣، وهو ما يساوي ٤٨٫٨١٥ وهكذا مع توالي الأرقام.

بعد أن حسبنا ارتفاع هذا الهرم، يمكننا الآن إيجاد حجمه. لدينا ثلث مضروب في مساحة القاعدة؛ أي ستة تربيع مضروبًا في الارتفاع، وسنستخدم القيمة الدقيقة للجذر التربيعي لـ ٢٣٨٣. ستة تربيع يساوي ٣٦، وثلث ٣٦ يساوي ١٢. إذن لدينا ١٢ جذر ٢٣٨٣. بحساب قيمة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ٥٨٥٫٧٩١٧ وهكذا مع توالي الأرقام. بعد ذلك، بالتقريب لأقرب جزء من مائة كما هو مطلوب، نحصل على ٥٨٥٫٧٩.

وحدة قياس هذا الحجم هي السنتيمتر المكعب. من ثم، نجد أن حجم الهرم القائم ﻡﺃﺏﺟﺩ لأقرب جزء من مائة هو ٥٨٥٫٧٩ سنتيمترًا مكعبًا.