نسخة الفيديو النصية
أوجد مجال ومدى الدالة د ﺱ تساوي القيمة المطلقة لثلاثة ﺱ ناقص واحد زائد ثلاثة ﺱ زائد خمسة.
في هذا السؤال، لدينا الدالة د ﺱ، ومطلوب منا إيجاد مجال ومدى هذه الدالة. إذن للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بمجال الدالة ومداها. أولًا، مجال الدالة هو مجموعة كل القيم المدخلة لهذه الدالة. ثانيًا، مدى الدالة هو مجموعة كل القيم المخرجة للدالة بمعلومية مجالها. وهناك العديد من الطرق المختلفة لتحديد مجال الدالة ومداها. إحدى طرق فعل ذلك هي رسم تمثيلها البياني. ولمساعدتنا في رسم التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي د ﺱ، دعونا نسم الدالة التي هي عبارة عن القيمة المطلقة لثلاثة ﺱ ناقص واحد ر ﺱ. وبما أن هذه الدالة تتضمن قيمة مطلقة، يمكننا إعادة كتابتها على صورة دالة متعددة التعريف.
لنفعل هذا، نتذكر أن القيمة المطلقة لدالة ما يتغير تعريفها بناء على إذا ما كان ما بداخل القيمة المطلقة عددًا موجبًا أو عددًا سالبًا. وعليه، إذا كان ثلاثة ﺱ ناقص واحد أكبر من أو يساوي صفرًا، فإن القيمة المطلقة لثلاثة ﺱ ناقص واحد تساوي ثلاثة ﺱ ناقص واحد. أما إذا كان ثلاثة ﺱ ناقص واحد أصغر من صفر، فعند حساب قيمته المطلقة، علينا ضربه في سالب واحد. وسالب واحد في ثلاثة ﺱ ناقص واحد يساوي واحدًا ناقص ثلاثة ﺱ. وهذا يعطينا تعريفًا متعددًا للدالة ر ﺱ. علينا هنا ملاحظة أنه يمكننا تبسيط هذا التعريف من خلال تبسيط مجاليه الجزئيين. يمكننا أن نضيف واحدًا إلى المتباينتين ثم نقسم كلا المتباينتين على ثلاثة. لنحصل على ﺱ أكبر من أو يساوي ثلثًا، وﺱ أقل من ثلث، وهو ما يعطينا التعبير التالي لـ ر ﺱ.
والآن، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد التعريف المتعدد للدالة د ﺱ. أولًا، نلاحظ أن الدالة د ﺱ تساوي ر ﺱ زائد ثلاثة ﺱ زائد خمسة. هذا يعني أن القيمة المخرجة للدالة د ﺱ ستعتمد على القيمة المخرجة للدالة ر ﺱ. إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي ثلثًا، فإن الدالة ر ﺱ سيكون خرجها ثلاثة ﺱ ناقص واحد. يمكننا التعويض بذلك في الدالة د ﺱ. إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي ثلثًا، فإن د ﺱ تساوي ثلاثة ﺱ ناقص واحد زائد ثلاثة ﺱ زائد خمسة، وهو ما يمكننا تبسيطه إلى ستة ﺱ زائد أربعة. ولكن إذا كانت القيمة المدخلة ﺱ أقل من ثلث، فإن ر ﺱ تساوي واحدًا ناقص ثلاثة ﺱ.
يمكننا التعويض بذلك في الدالة د ﺱ. إذا كان ﺱ أصغر من ثلث، فإن د ﺱ تساوي واحدًا ناقص ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ زائد خمسة، وهو ما يمكننا تبسيطه. سالب ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ يساوي صفرًا، إذن د ﺱ تساوي ستة عندما يكون ﺱ أقل من ثلث. وإذا كان د ﺱ تساوي القيمة الثابتة ستة؛ عندما يكون ﺱ أقل من ثلث، ود ﺱ تساوي ستة ﺱ زائد أربعة عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ثلثًا، فإن د ﺱ دالة متعددة التعريف. والآن يمكننا رسم التمثيل البياني ﺹ يساوي د ﺱ لإيجاد مجالها ومداها.
لكن قبل أن نفعل هذا، علينا تذكر أن مجال الدالة المتعددة التعريف هو اتحاد مجالاتها الجزئية. إذن، يمكننا إيجاد مجال الدالة د ﺱ من تعريفها المتعدد. هذا المجال هو جميع قيم ﺱ الأقل من ثلث أو قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي ثلثًا. بعبارة أخرى، كل القيم الحقيقية لـ ﺱ.
والآن علينا تحديد مدى هذه الدالة. وسنفعل ذلك برسم التمثيل البياني لها. أولًا، الدالة هي قيمة ثابتة تساوي ستة عندما يكون ﺱ أقل من ثلث. وبما أن القيم المخرجة هي قيمة ثابتة تساوي ستة، فسنمثل هذا بالخط الأفقي ﺹ يساوي ستة، حيث يجب أن تكون القيم المدخلة لـ ﺱ أقل من ثلث. ونمثل ذلك بدائرة مفرغة عند ﺱ يساوي ثلثًا. بعد ذلك، عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ثلثًا، تكون الدالة د ﺱ دالة خطية: ستة ﺱ زائد أربعة. ولرسم هذه الدالة الخطية، دعونا نبدأ بإيجاد نقطتها الحدية، أي القيمة عندما يكون ﺱ يساوي ثلثًا. نعوض بـ ﺱ يساوي ثلثًا في الدالة الخطية لنحصل على ستة في ثلث زائد أربعة. وإذا حسبنا قيمة ذلك، فسنجد أنه يساوي ستة.
ومن ثم، فإن النقطة الحدية لهذه الدالة الخطية هي النقطة التي إحداثياتها تساوي ثلثًا، وستة. وهذه هي الدائرة المفرغة التي لدينا بالفعل على التمثيل البياني، ما يعني أنه يمكننا ملؤها لأن هذه النقطة أصبحت الآن نقطة تقع على التمثيل البياني للدالة لدينا. إنها النقطة الحدية للجزء الخطي. يمكننا الآن رسم باقي التمثيل البياني بدقة. لكننا سنرى أن ذلك ليس ضروريًّا لإيجاد مدى الدالة. كل ما علينا معرفته هو أن هذا الخط له ميل موجب. وهذا الميل يساوي ستة. إذن عندما يقترب ﺱ من ∞، يقترب الخط من ∞.
نحن الآن جاهزون لإيجاد مدى هذه الدالة من تمثيلها البياني. تذكر أن مدى الدالة هو مجموعة كل القيم المخرجة الممكنة للدالة. وعند رسم التمثيل البياني لدالة ما، يخبرنا الإحداثي ﺱ للنقطة التي تقع على المنحنى بالقيمة المدخلة، ويخبرنا الإحداثي ﺹ بالقيمة المخرجة المناظرة. وعليه، فإن قيم الإحداثي ﺹ هي نقاط تقع على المنحنى توضح لنا مدى الدالة لدينا. على سبيل المثال، في التمثيل البياني هنا، نلاحظ أن ستة هو قيمة مخرجة للدالة. وهو في الواقع أقل قيمة مخرجة. إنه أقل قيمة للإحداثي ﺹ لنقطة تقع على التمثيل البياني. كما نعلم أن الخط يمتد إلى ∞. وعليه فإن أي قيمة أكبر من أو تساوي ستة هي قيمة مخرجة محتملة للدالة. ومن ثم، فإن مدى هذه الدالة يحتوي على جميع القيم الأكبر من أو تساوي ستة.
تذكر أنه علينا كتابة ذلك على صورة فترة. هذه هي الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من ستة إلى ∞. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن مجال الدالة د ﺱ المعطاة لنا في السؤال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، ومداها هو الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من ستة إلى ∞.
