فيديو السؤال: تحويل حاصل ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية إلى الصورة الأسية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻉ واحد يساوي اثنين مضروبًا في جتا ٩٠ ناقص ﺕ جا ٩٠ وﻉ اثنين يساوي أربعة مضروبًا في جا ٣٠ زائد ﺕ جتا ٣٠، فأوجد الصورة الأسية للعدد ﻉ واحد ﻉ اثنين.

يكون العدد المركب على الصورة القطبية إذا كان يبدو بهذا الشكل: ﻉ يساوي ﻝ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. لاحظ أن العدد المركب ﻉ اثنين يبدو مختلفًا قليلًا. علينا التصرف بذكاء لكي نجعل المعادلتين تبدوان على الصورة نفسها.

تذكر أن منحنيي دالتي الجيب وجيب التمام هما انتقالان أفقيان بعضهما لبعض؛ حيث جا 𝜃 يساوي جتا ٩٠ ناقص 𝜃 وجتا 𝜃 يساوي جا ٩٠ ناقص 𝜃. هذا يعني أن جا ٣٠ يساوي جتا ٩٠ ناقص ٣٠، وهو ما يساوي جتا ٦٠. وبالمثل، جتا ٣٠ يساوي جا ٩٠ ناقص ٣٠، وهو ما يساوي جا ٦٠. ويمكن كتابة العدد ﻉ اثنين على صورة أربعة جتا ٦٠ زائد ﺕ جا ٦٠.

عادة ما قد نحاول استخدام صيغة الضرب هنا. لكن بما أن العدد المركب الأول يتضمن معاملًا سالبًا لـ ﺕ جا 𝜃، والثاني يتضمن معاملًا موجبًا لـ ﺕ جا 𝜃، فبدلًا من ذلك، سنحولهما أولًا إلى الصورة الأسية.

تذكر أن متطابقة أويلر تنص على أن ﻫ أس موجب أو سالب ﺕ𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد أو ناقص ﺕ جا 𝜃. ويمكننا إضافة أن ﻝﻫ أس موجب أو سالب ﺕ𝜃 يساوي ﻝ مضروبًا في جتا 𝜃 زائد أو ناقص ﺕ جا 𝜃، حيث ﻝ هو المقياس و𝜃 هي السعة. لكن تذكر أن هذه الصيغة يمكن تطبيقها فقط إذا كانت 𝜃 تقاس بالراديان.

هيا نستخدم هذه المعلومات لكتابة العددين المركبين لدينا على الصورة الأسية. مقياس ﻉ واحد يساوي اثنين وسعته تساوي ٩٠. يمكننا التحويل من الدرجات إلى الراديان بالضرب في ‏𝜋‏ على ١٨٠. وبذلك، نجد أن سعة ﻉ واحد تساوي 𝜋 على اثنين. وبما أن معامل ﺕ جا 𝜃 سالب، فيمكننا كتابة ﻉ واحد على الصورة الأسية هكذا: اثنان ﻫ أس سالب 𝜋 على اثنين ﺕ.

مقياس ﻉ اثنين يساوي أربعة و𝜃 تساوي ٦٠ درجة. مرة أخرى، سنضرب هذا في 𝜋 على ١٨٠ للتحويل إلى الراديان. وبذلك، نحصل على 𝜋 على ثلاثة. ويمكننا إعادة كتابة ﻉ اثنين على الصورة أربعة ﻫ أس 𝜋 على ثلاثة ﺕ.

يطلب منا السؤال إيجاد حاصل ضرب هذين العددين، لضربهما معًا. سنفعل ذلك بالطريقة المعتادة. فهذا يساوي اثنين ﻫ أس سالب 𝜋 على اثنين ﺕ مضروبًا في أربعة ﻫ أس 𝜋 على ثلاثة ﺕ. اثنان مضروبًا في أربعة يساوي ثمانية. وعند ضرب عددين لهما الأساس نفسه، نجمع الأسس. إذن، هذا يساوي ﻫ أس سالب 𝜋 على اثنين زائد 𝜋 على ثلاثة ﺕ.

ويمكننا ملاحظة أن الصورة الأسية للعدد ﻉ واحد ﻉ اثنين هي ثمانية ﻫ أس سالب 𝜋 على ستة ﺕ. لاحظ أنه على الرغم من ذلك فإن كل أس من الأسس الموجودة في الإجابات المحتملة لهذا السؤال به معامل ﺕ موجب.

وبما أن الدالة الأسية التخيلية دورية وطول دورتها اثنان 𝜋، فيمكننا إضافة اثنين 𝜋 إلى سالب 𝜋 على ستة حتى نوجد قيمة موجبة. سالب 𝜋 على ستة زائد اثنين 𝜋 يساوي ١١‏𝜋‏ على ستة. إذن، العدد ﻉ واحد ﻉ اثنين يساوي ثمانية ﻫ أس ١١‏𝜋‏ على ستة ﺕ.