فيديو السؤال: تحديد الدوال الكسرية المتساوية الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

أي دالتين من الدوال الآتية متساويتان؟

في هذا السؤال، لدينا خمسة أزواج من الدوال. في البداية، يمكننا ملاحظة أن جميع الخيارات الخمسة تتضمن الدالة ﻥ واحدًا ﺱ تساوي ﺱ تكعيب ناقص ٧٢٩ على ﺱ تكعيب زائد تسعة ﺱ تربيع زائد ٨١ﺱ، في حين تختلف الدالة ﻥ اثنان في كل خيار عن بقية الخيارات الأخرى وإن كان الاختلاف بسيطًا. نلاحظ أيضًا أن جميع الدوال المسماة ﻥ واحد وﻥ اثنين المعطاة هي دوال كسرية؛ حيث يحتوي كل من بسطها ومقامها على كثيرات حدود. إذا نظرنا إلى الدالة ﻥ واحد، فسنلاحظ أن بسطها يتضمن مقدارًا ذا حدين تكعيبيًّا؛ أي مقدارًا من الدرجة الثالثة يحتوي على حدين. ويتضمن المقام مقدارًا ثلاثيًّا تكعيبيًّا، أو بمعنى آخر مقدارًا من الدرجة الثالثة يحتوي على ثلاثة حدود.

دعونا نسترجع الآن المقصود بتساوي دالتين. تكون الدالتان الكسريتان ﻥ واحد وﻥ اثنان متساويتين إذا كان لهما مجالان متساويان. ولعلنا نتذكر أن مجال الدالة الكسرية هو جميع الأعداد الحقيقية ناقص مجموعة أصفار المقام. هذا يعني أنه لكي تحقق الدالتان الكسريتان ﻥ واحد وﻥ اثنان الشرط الأول، يجب أن يكون لمقام كل منهما الأصفار الحقيقية نفسها.

الشرط الثاني لكي تكون الدالتان الكسريتان ﻥ واحد وﻥ اثنان متساويتين هو أن يكون كل من ﻥ واحد وﻥ اثنين متساويتين على المجال المشترك بينهما. هذا الشرط يوضح ما نشير إليه بتكافؤ الدالتين ﻥ واحد وﻥ اثنين. هذا يعني أنه يمكننا تبسيط الدوال الكسرية المتكافئة للحصول على المقدار نفسه. في هذا السياق، التكافؤ والتساوي لا يحملان المعنى نفسه؛ حيث نقول إن الدالتين الكسريتين متساويتان إذا كان لهما المجال نفسه، ومتساويتين على هذا المجال، ونقول إنهما متكافئتان إذا كانتا متساويتين على المجال المشترك بينهما. مطلوب منا في هذا السؤال تحديد أي دالتين من الدوال الآتية متساويتان، وهذا يعني أنه لا بد أن يحتوي مقاما الدالتين ﻥ واحد وﻥ اثنين على الأصفار الحقيقية نفسها، وأن نحصل على المقدار نفسه بعد تبسيط الدالتين. سنفرغ الآن بعض المساحة لكننا سنترك توضيحًا مختصرًا لهذين الشرطين.

نحن نتذكر أنه لإيجاد الأصفار الحقيقية لكل مقام، علينا تحليل هذين المقامين إلى عوامل. ولتبسيط المقادير الكسرية سيكون علينا تحليل البسط والمقام لكل منها. وبذلك يمكننا حذف أي عوامل مشتركة كما هو موضح في المثال الآتي. لذا دعونا نبدأ بتحليل بسط الدالة ﻥ واحد ومقامها. وبمجرد الانتهاء من ذلك سنتمكن من إيجاد الأصفار الحقيقية للمقام ثم تبسيط المقدار. بعد ذلك سنقارن هذه النتائج بخواص الدوال المختلفة المسماة ﻥ اثنين. دعونا نفرغ بعض المساحة حتى نتمكن من توضيح ما سنفعله.

لكي نتمكن من التركيز على الدالة ﻥ واحد فقط حتى الآن، سننقل جميع الدوال المسماة ﻥ اثنين إلى جانب الشاشة. سنبدأ بتحليل بسط الدالة. نلاحظ هنا أن ٧٢٩ مكعب كامل. ونعلم ذلك لأنه عبارة عن حاصل ضرب عدد صحيح في نفسه ثلاث مرات، وهو تسعة في تسعة في تسعة؛ أي تسعة تكعيب. ومن ثم يمكننا كتابة ﺱ تكعيب ناقص ٧٢٩ على الصورة ﺱ تكعيب ناقص تسعة تكعيب. يسمى هذا الفرق بين مكعبين. ويشار إلى أي كثيرة حدود على الصورة ﺱ تكعيب ناقص ﺃ تكعيب بالفرق بين مكعبين. ويمكننا تحليلها لتصبح على الصورة ﺱ ناقص ﺃ في ﺱ تربيع زائد ﺃﺱ زائد ﺃ تربيع. في هذا السؤال سنعوض عن المتغير ﺃ بالعدد الصحيح تسعة. ومن ثم، نجد أن العامل الأول لـ ﺱ تكعيب ناقص ٧٢٩ هو ﺱ ناقص تسعة.

والعامل الثاني لدينا هو ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ زائد ٨١ ؛ حيث إن ٨١ هو ناتج تربيع القيمة ﺃ، التي تساوي تسعة. قد نتساءل الآن إذا كان العامل الثاني عاملًا أوليًّا أم لا. حسنًا، بعد تحليل العدد ٨١ إلى جميع عوامله الممكنة وملاحظة أن مجموع كل زوج منها لا يساوي معامل الحد ﺱ لدينا، يمكننا القول إن هذا عامل أولي.

دعونا ننتقل الآن إلى خطوة تحليل المقام بالكامل. أول ما نلاحظه هنا هو أن جميع الحدود الثلاثة في المقام تحتوي على العامل المشترك ﺱ. وفي الواقع، ﺱ هو العامل المشترك الأكبر. وبمجرد أخذ ﺱ عاملًا مشتركًا لكل حد، يصبح لدينا ناتج التحليل ﺱ في ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ زائد ٨١.

والآن بعد أن انتهينا من تحليل المقام، أصبحنا مستعدين لإيجاد الأصفار الحقيقية لهذا المقام. وإذا أردنا إيجاد الأصفار، علينا مساواة كل عامل بالصفر. نلاحظ أن المعادلة الأولى قد حلت بالفعل؛ حيث ﺱ يساوي صفرًا. لكن المعادلة الثانية تبدو أكثر تعقيدًا بعض الشيء. وكما ذكرنا من قبل، كثيرة الحدود التربيعية هذه هي كثيرة حدود أولية، وهو ما يعني أنه لا يمكن تحليلها.

لذا، بدلًا من محاولة حل هذه المعادلة التربيعية مباشرة، دعونا نوجد المميز. لعلنا نتذكر أن أي مقدار تربيعي له مميز موجب يحتوي على صفرين حقيقيين، وعندما يساوي المميز صفرًا يعني هذا أن المقدار يحتوي على صفر حقيقي واحد. أما إذا كان المميز سالبًا، فهذا يعني أن المقدار لا يحتوي على أي أصفار حقيقية. باستخدام القيمة ﺃ التي تساوي واحدًا والقيمة ﺏ التي تساوي تسعة والقيمة ﺟ التي تساوي ٨١، نجد أن المميز يساوي سالب ٢٤٣. وهذا يعني أن المقدار التربيعي ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ زائد ٨١ لا يحتوي على أي أصفار حقيقية. وبما أننا وجدنا أن المقام يحتوي على صفر حقيقي واحد فقط، فإن مجال الدالة ﻥ واحد هو جميع الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على الصفر.

سنعود الآن إلى ناتج تحليل بسط الدالة ﻥ واحد ومقامها لنرى إذا ما كان يمكننا تبسيط المقدار الناتج أم لا. نلاحظ هنا أن لدينا العامل المشترك ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ زائد ٨١. وبعد حذف هذا العامل المشترك، يصبح لدينا المقدار المبسط ﺱ ناقص تسعة على ﺱ. سنفرغ الآن بعض المساحة وسنترك توضيحًا مختصرًا لما توصلنا إليه في الدالة ﻥ واحد.

دعونا نبدأ بتناول الدالة ﻥ اثنين الواردة في الخيار أ. إذا حللنا هذا المقام فسيصبح لدينا ﺱ في ﺱ تربيع ناقص ٦٣. الدالة ﻥ اثنان التي تساوي الدالة ﻥ واحدًا لا بد أن يكون لها أيضًا المجال الذي يساوي جميع الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على الصفر. لذا دعونا نوجد أصفار المقام. بعد مساواة كل عامل بالصفر وجدنا أن لدينا ثلاثة أصفار، وهي ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي موجب ثلاثة في الجذر التربيعي لسبعة وسالب ثلاثة في الجذر التربيعي لسبعة. ومن ذلك يمكننا استنتاج أن الدالة ﻥ اثنين هذه مجالها هو جميع الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على صفر وثلاثة في الجذر التربيعي لسبعة وسالب ثلاثة في الجذر التربيعي لسبعة، وهذا لا يساوي مجال الدالة ﻥ واحد. إذن، سنستبعد الخيار أ.

سنتناول بعد ذلك الدالة ﻥ اثنين الواردة في الخيار ب. كما فعلنا من قبل، سنحلل أولًا مقام الدالة ﻥ اثنين هذه. وبذلك نجد أن عاملي المقام هما ﺱ في ﺱ تربيع زائد ٦٣. بعد ذلك سنساوي كل عامل من هذين العاملين بالصفر. نلاحظ أن الصفر الأول لهذا المقام هو الصفر نفسه الذي أوجدناه لمقام الدالة ﻥ واحد. ويمكننا أيضًا ملاحظة أن ﺱ تربيع زائد ٦٣ لا يعطينا أصفارًا حقيقية أخرى؛ لأن الجذر التربيعي لأي عدد سالب لا يعطي عددًا حقيقيًّا. لذا يمكننا القول إن مجالي الدالتين ﻥ اثنين وﻥ واحد متساويان. ومن ثم يتحقق الشرط الأول لتساوي دالتين كسريتين.

علينا الآن معرفة إذا ما كان يمكننا تبسيط الدالة ﻥ اثنين هذه للحصول على نفس المقدار الذي حصلنا عليه بتبسيط الدالة ﻥ واحد. يمكننا التأكد من ذلك بسهولة من خلال حذف العامل المشترك ﺱ تربيع زائد ٦٣. ومن ثم، تبسط الدالة إلى ﺱ ناقص تسعة على ﺱ، وهو ما يجعل الدالة ﻥ اثنين تكافئ الدالة ﻥ واحدًا. وبما أننا أوضحنا بالفعل أن مجالي هاتين الدالتين متساويان، يمكننا القول إن الإجابة الصحيحة هي الخيار ب.

دعونا نلق نظرة سريعة على الخيارات الثلاثة المتبقية لمعرفة سبب عدم تساوي الدالة ﻥ اثنين في هذه الخيارات مع الدالة ﻥ واحد. في الخيار ج نلاحظ أن الدالة ﻥ اثنين لا تساوي الدالة ﻥ واحدًا؛ لأنه لا يمكن تبسيط الدالة ﻥ اثنين للحصول على المقدار ﺱ ناقص تسعة على ﺱ. وفي الخيار د، نلاحظ أن الدالة ﻥ اثنين لا تساوي الدالة ﻥ واحدًا؛ لأن مقامها لا يحتوي على الأصفار الحقيقية نفسها الموجودة في مقام الدالة ﻥ واحد. وأخيرًا في الخيار هـ، نلاحظ أن الدالة ﻥ اثنين لا تساوي الدالة ﻥ واحدًا؛ لأن مقامها، مرة أخرى، لا يحتوي على الأصفار الحقيقية نفسها الموجودة في مقام الدالة ﻥ واحد.

بإيجاز، لقد استبعدنا خيار الإجابة أ؛ لأن مجال الدالة ﻥ اثنين لا يساوي مجال الدالة ﻥ واحد. واستبعدنا الخيار ج؛ لأن الدالة ﻥ اثنين لا يمكن تبسيطها إلى المقدار ﺱ ناقص تسعة على ﺱ. واستبعدنا الخيار د؛ لنفس السبب الذي استبعدنا من أجله الخيار أ. وبالمثل، استبعدنا الخيار هـ؛ لأن مجال الدالة ﻥ اثنين لا يساوي مجال الدالة ﻥ واحد.

إذن، من بين الخيارات الخمسة المعطاة، نستنتج أن الدالتين الوحيدتين المتساويتين هما ﻥ واحد ﺱ يساوي ﺱ تكعيب ناقص ٧٢٩ على ﺱ تكعيب زائد تسعة ﺱ تربيع زائد ٨١ﺱ، وﻥ اثنان ﺱ يساوي ﺱ ناقص تسعة في ﺱ تربيع زائد ٦٣ الكل على ﺱ تكعيب زائد ٦٣ﺱ.