فيديو السؤال: إيجاد اطراد دالة بمعلومية التمثيل البياني لمشتقتها الأولى الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

التمثيل البياني للمشتقة ﺩ شرطة للدالة ﺩ موضح بالشكل. ما الفترات التي تكون عليها ﺩ تزايدية أو تناقصية؟

لدينا تمثيل بياني لمنحنى المشتقة ﺩ شرطة للدالة ﺩ. وعلينا استخدام ذلك لتحديد الفترات التي تكون عليها الدالة ﺩ تزايدية أو تناقصية. لنبدأ بتذكر معنى أن تكون الدالة ﺩ تزايدية أو تناقصية على فترة ما. نقول إن الدالة ﺩﺱ تزايدية على فترة ما في حال الشرط التالي: إذا أخذنا أي نقطتين تقعان في هذه الفترة، فإن النقطة التي لها إحداثي ﺱ أعلى لا بد أن تكون قيمتها المخرجة أعلى. بعبارة أخرى، تزايد قيمة ﺱ على هذه الفترة سيزيد القيمة المخرجة للدالة. ونعرف التناقص بالطريقة نفسها. حيث نحدد ما إن كانت الدالة ﺩ في المتغير ﺱ تناقصية على فترة ما باختبار أي نقطتين على الفترة. فإذا وجدنا أن النقطة التي لها إحداثي ﺱ أعلى تكون قيمتها المخرجة أقل، نقول إن الدالة تناقصية على هذه الفترة.

بعبارة أخرى، تزايد قيمة ﺱ المدخلة على هذه الفترة سينقص القيمة المخرجة. وعادة ما تكون رؤية هذا أسهل بيانيًا. عندما يتجه المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ لأعلى، فهذا يعني أن القيم المخرجة تزداد. إذن، الدالة تزايدية. وعندما يتجه المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ لأسفل، تقل القيم المخرجة. إذن، الدالة تناقصية. وتجدر أيضًا الإشارة إلى أنه إذا ظلت الدالة ثابتة، فإننا نقول إنها ليست تزايدية ولا تناقصية. فهي لا تتزايد ولا تتناقص. لكن هذا لن يساعدنا إلا إذا كان لدينا المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ. في هذا السؤال، ليس لدينا سوى التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ.

هذا يعني أنه للإجابة عن هذا السؤال، علينا التفكير فيما يحدث للمنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ عند تزايد ﺩﺱ، وما يحدث للمنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ عند تناقص ﺩﺱ. لفعل ذلك، علينا تذكر معنى دالة المشتقة ﺩ شرطة للدالة ﺩ. وعلينا تذكر أن ﺩ شرطة تقيس ميل خطوط المماس للمنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ. إذن، لإيجاد ما يحدث للمنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ عندما تكون ﺩﺱ تزايدية أو تناقصية، علينا معرفة ما يحدث لميل خطوط المماس.

هيا نبدأ بفترة يتزايد فيها ﺹ يساوي ﺩﺱ. بيانيًا، من المنطقي أن يكون الميل موجبًا على هذه الفترة. في نهاية الأمر، تتزايد القيم المخرجة. وفي الواقع، هذا صحيح، ويمكننا إثبات ذلك مباشرة من تعريف المشتقة. أولًا، لننظر إلى النقطة ﺱ صفر؛ حيث تقع هذه النقطة في الفترة التي تكون فيها ﺩﺱ تزايدية. من تعريف المشتقة، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ صفر تساوي النهاية عندما‎ يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩﺱ صفر زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ صفر الكل مقسوم على ﻫ.

نريد توضيح أن هذه النهاية موجبة. الخطوة التالية هي بما أن ﻫ يقترب من صفر، فإننا سنختار ﻫ بقيمة صغيرة بما يكفي؛ بحيث يقع ﺱ صفر زائد ﻫ أيضًا في هذه الفترة. الآن، يوجد خياران. إما أن يكون ﻫ قيمة موجبة، أو أن يكون ﻫ قيمة سالبة. أولًا، إذا كان ﻫ قيمة موجبة، فلا بد أن تكون ﺩﺱ صفر زائد ﻫ أكبر من ﺩﺱ صفر. وهذا لأننا اخترنا ﻫ بقيمة صغيرة بما يكفي؛ بحيث يقع ﺱ صفر زائد ﻫ أيضًا في فترة تزايد ﺩ. وﺱ صفر زائد ﻫ سيكون أكبر من ﺱ صفر. ونحصل على متباينة مماثلة لـ ﻫ أصغر من صفر. هذه المرة، ﺩﺱ صفر ستكون أكبر من ﺩﺱ صفر زائد ﻫ.

مرة أخرى، هذا لأن ﺩ دالة تزايدية على هذه الفترة. وبما أن ﻫ أصغر من صفر، فإن ﺱ صفر زائد ﻫ سيكون أصغر من ﺱ صفر. يمكننا بعد ذلك معرفة ما تأثير هذا على النهاية. دعونا نتناول الحالة التي يكون فيها ﻫ أكبر من صفر. في البسط الموجود بداخل النهاية، نطرح الآن عددًا أصغر من عدد أكبر. وبهذا يكون البسط موجبًا. وفي هذه الحالة، ﻫ يكون موجبًا. ومن ثم، فإننا نقسم عددين موجبين. ونعلم أن خارج قسمة عددين موجبين يكون موجبًا. ونحصل على قيمة مشابهة جدًا في الحالة التي يكون فيها ﻫ أصغر من صفر.

هذه المرة، سنطرح عددًا أكبر من عدد أصغر. إذن، البسط سيكون سالبًا. لكن تذكر أن ﻫ أصغر من صفر. وعليه، يكون المقام سالبًا أيضًا. وخارج قسمة عددين سالبين يكون موجبًا. وهذا لا يثبت إلا أن النهاية ستكون أكبر من أو تساوي صفرًا؛ لأنه يمكن أن تقترب مجموعة متسلسلة من الأعداد الموجبة من صفر. ولهذا السبب نفضل أحيانًا تضمين النقاط التي يكون الميل عندها يساوي صفرًا في الفترات. ومع ذلك، في هذا الفيديو، لن نقوم بتضمينها.

في الواقع، يمكننا توضيح الفترات التي تكون فيها الدالة تناقصية بطريقة مشابهة جدًا. على هذه الفترات، تتجه الدالة لأسفل. هذا يعني أن الميل سيكون سالبًا. أصبح لدينا الآن ما يكفي من المعلومات كي نبدأ في تحديد الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩ تزايدية أو تناقصية من المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ. نعلم أن ﺩ شرطة ﺱ ستكون تزايدية على الفترات التي تكون فيها ﺩ شرطة ﺱ موجبة. هذا يعني أن المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ سيقع أعلى المحور ﺱ. وبالمثل، على فترات تناقص ﺩﺱ، تكون ﺩ شرطة ﺱ سالبة. هذا يعني أن المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ سيقع أسفل المحور ﺱ.

نحن الآن مستعدون للإجابة عن هذا السؤال. ومع ذلك، يوجد أمر آخر علينا التطرق إليه. نريد التطرق إلى طرفي هذا المنحنى عند ﺱ يساوي صفرًا، وعند ﺱ يساوي ثمانية. يمكننا أن نلاحظ من المنحنى أن قيمة ﺩ شرطة عند صفر تساوي اثنين، وأن قيمة ﺩ شرطة عند ثمانية تساوي تقريبًا سالب ١٫٥. ويمثل هذا بدائرتين مصمتتين في الشكل. لذا، إذا نظرنا إلى المنحنى بدءًا من ﺱ يساوي صفرًا إلى ﺱ يساوي واحدًا، فإننا نلاحظ أن المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ يقع أعلى المحور ﺱ. بعبارة أخرى، ﺩ شرطة ﺱ تكون أكبر من صفر لجميع قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي صفرًا، والأصغر من واحد.

ولقد ناقشنا بالفعل سبب عدم تضمين النقطة الطرفية عند ﺱ يساوي واحدًا. في الواقع، هذا مجرد مفهوم رياضي. ويمكننا تضمينها إذا أردنا. ويمكننا ترك الحل بهذا الشكل. لكن، يوجد جزء آخر من المفهوم الرياضي. لا يفضل كثير من الناس تضمين طرفي الفترات. وكلتا الإجابتين صحيحة. الأمر كله يتعلق بالتفضيل الشخصي لدى علماء الرياضيات. في هذا الفيديو، سنتجاهل هذا الأمر، ونتركه على صورة الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد. وبذلك نكون قد أوضحنا أن ﺩﺱ تزايدية على الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد. دعونا نتابع إيجاد المزيد من الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩﺱ تزايدية أو تناقصية.

بعد ذلك، بالنظر إلى المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ، نلاحظ أنه يقع بالكامل أسفل المحور ﺱ لجميع قيم ﺱ بين واحد وخمسة. إذن، بما أن ﺩ شرطة ﺱ تقع أسفل المحور ﺱ على الفترة المفتوحة من واحد إلى خمسة، فإن الدالة ﺩﺱ تناقصية على الفترة المفتوحة من واحد إلى خمسة. بعد ذلك، بالنظر إلى المنحنى، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ موجبة لجميع قيم ﺱ على الفترة المفتوحة من خمسة إلى سبعة. هذا يعني أن الدالة ﺩﺱ تزايدية على الفترة المفتوحة من خمسة إلى سبعة. وأخيرًا، نلاحظ أن المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر على الفترة المفتوحة من سبعة إلى ثمانية. ونحن لا نقوم بتضمين طرفي هذا المنحنى حسب المفهوم الرياضي.

بذلك نكون قد أوضحنا أنه على الفترة المفتوحة من سبعة إلى ثمانية، سيكون ميل كل خطوط المماس سالبًا. وهذا يعني أن الدالة ﺩﺱ ستكون تناقصية على هذه الفترة. توصلنا الآن إلى جميع الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩ تزايدية وتناقصية. يمكننا تجميع ذلك في الحل النهائي. ومن ثم، بالنظر إلى الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩ شرطة ﺱ موجبة أو سالبة، تمكنا من تحديد الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩ تزايدية أو تناقصية. تمكنا من توضيح أن ﺩ ستكون تزايدية على الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد، والفترة المفتوحة من خمسة إلى سبعة، وتناقصية على الفترة المفتوحة من واحد إلى خمسة، والفترة المفتوحة من سبعة إلى ثمانية.