فيديو السؤال: إيجاد معكوس المصفوفة باستخدام خواص المحددات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

حدد إذا ما كانت المصفوفة: واحد، اثنان، ثلاثة، صفر، اثنان، واحد، اثنان، ستة، سبعة لها معكوس بتحديد إذا ما كانت قيمة المحدد لا تساوي صفرًا. إذا كانت قيمة المحدد لا تساوي صفرًا، فأوجد المعكوس باستخدام الصيغة الخاصة بالمعكوس، التي تتضمن استخدام مصفوفة العوامل المرافقة.

حسنًا، علينا أولًا أن نذكر أنفسنا بكيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. إذن لننظر إلى قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، ﻫ، ﻭ، ﺯ، ﺡ، ﻁ. لدينا هنا ﺃ مضروبًا في هذا المحدد الأصغر المناظر له، أو هو أيضًا محدد المصفوفة الجزئية من الرتبة اثنين في اثنين ﻫ، ﻭ، ﺡ، ﻁ، ناقص ﺏ مضروبًا في محدد المصفوفة الجزئية ﺩ، ﻭ، ﺯ، ﻁ زائد ﺟ مضروبًا في محدد المصفوفة الجزئية ﺩ، ﻫ، ﺯ، ﺡ.

قد نفكر: من أين أتت المحددات الصغرى أو محددات المصفوفات الجزئية؟ حسنًا، لنلق نظرة سريعة على المحدد الأصغر الأول. أخذنا العنصر من الصف الأول والعمود الأول، وهو ﺃ. ثم عند حذف العناصر الموجودة في العمود والصف اللذين يقع بهما، تبقت لدينا المصفوفة الفرعية من الرتبة اثنين في اثنين ﻫ، ﻭ، ﺡ، ﻁ. واستخدمنا الطريقة نفسها في كل مرحلة من مراحل عملية الحل.

والآن أصبحنا نعرف كيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. فلنفعل ذلك إذن، ونوجد قيمة محدد المصفوفة المعطاة. سنجد أن لدينا محدد المصفوفة: واحد، اثنين، ثلاثة، صفر، اثنين، واحد، اثنين، ستة، سبعة. سوف تساوي قيمته واحدًا مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: اثنين، واحد، ستة، سبعة ناقص اثنين مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: صفر، واحد، اثنين، سبعة زائد ثلاثة مضروبًا في محدد المصفوفة: صفر، اثنين، اثنين، ستة.

حسنًا، عند هذه النقطة نريد أن نذكر أنفسنا بكيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. إذا كان لدينا محدد المصفوفة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، فإننا سنجري عملية ضرب تبادلي؛ بحيث نضرب ﺃ في ﺩ وﺏ في ﺟ، ثم نطرح ﺏﺟ من ﺃﺩ. دعونا الآن نستخدم ذلك لإيجاد قيمة محدد المصفوفة.

إذن، لدينا واحد مضروبًا في ١٤ ناقص ستة ناقص اثنين مضروبًا في صفر ناقص اثنين زائد ثلاثة مضروبًا في صفر ناقص أربعة، وهو ما يساوي ثمانية زائد أربعة ناقص ١٢، وهو ما سيعطينا القيمة صفرًا. إذن، يمكننا القول إن قيمة المحدد تساوي صفرًا.

ومن ثم، إجابة السؤال هي أنه لا يوجد معكوس؛ لأن قيمة المحدد تساوي صفرًا.