فيديو الدرس: حجم الأسطوانة

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتناول كيفية إيجاد حجم الأسطوانة. أولًا، سنتعرف على المنشور وعلى كيفية إيجاد حجمه. ثم سنشرح كيف أن الأسطوانة ما هي إلا منشور دائري. بعد ذلك سنشاهد أمثلة على الأسطوانات وكيفية إيجاد أحجامها.

قبل التحدث عن الأسطوانة، دعونا نر المنشور. المنشور هو شكل ثلاثي الأبعاد له قطاع عرضي ثابت. على سبيل المثال، لدينا هنا متوازي مستطيلات. ميزت القطاع العرضي بتظليله باللون الأزرق. إذا كنت سأقطع هذا المنشور عند أي نقطة — أو متوازي المستطيلات هذا عند أي نقطة، فلنفترض أننا سنقطع من هنا هكذا — فانظر إلى الجزء الذي سأحصل عليه، إذ سأظل أحصل على المقطع العرضي نفسه.

لدينا مثال آخر لمنشور — منشور على شكل نجمة. القطاع العرضي، وهو على شكل النجمة، يظل كما هو بطول المنشور. وهنا لدينا منشور دائري. ويظل الشكل الدائري أيضًا كما هو بطول المنشور. في الواقع، هذا المنشور الدائري له اسم خاص، وهو الأسطوانة.

الآن قبل أن نستغرق في التفكير في الأحجام، هيا نتحدث عن مكعب طول كل حرف من حروفه وحدة واحدة. مساحة المقطع العرضي لهذا المكعب ستساوي وحدة واحدة في وحدة واحدة، أي وحدة واحدة مربعة. يمكننا الآن إيجاد الحجم بضرب مساحة المقطع العرضي في الطول أو في هذه الحالة في ارتفاع المنشور. سيكون ذلك واحدًا في واحد، ما يساوي واحدًا أيضًا. ولأننا نحسب الحجم، فإن الوحدة ستكون مكعبة.

إذا أخذنا مكعبًا حجمه وحدة مكعبة واحدة ووضعناه أعلى مكعب آخر مطابق له، فسيكون لدينا وحدتان مكعبتان. بوضع مكعب آخر سيصبح لدينا ثلاث وحدات مكعبة. وبوضع مكعب رابع سيصبح لدينا أربع وحدات مكعبة، وهكذا. ولكن ماذا إذا بدأنا بوحدتين متجاورتين من هذه الوحدات المكعبة؟ الآن، في كل مرة نضيف فيها طبقة، سنضيف وحدتين مكعبتين أخريين. أي إن ثلاث طبقات ستعطينا ست وحدات مكعبة. وأربع طبقات ستعطينا ثماني وحدات مكعبة. إذن، الفكرة العامة للحجم هي ضرب مساحة المقطع العرضي الذي لدينا في عدد طبقات المنشور أو طوله أو ارتفاعه.

وكما ذكرنا من قبل، الأسطوانة هي منشور مساحة مقطعه العرضي مساحة دائرية. مرة أخرى، لإيجاد الحجم، علينا إيجاد مساحة المقطع العرضي وضربها في الارتفاع. وكلما كانت الأسطوانة أطول، كان الحجم أكبر. تذكر أن صيغة إيجاد مساحة الدائرة هي ‏𝜋‏ في مربع طول نصف القطر. إذا أسمينا نصف القطر نق، فإن المساحة تساوي ‏𝜋‏ في نق تربيع. وإذا كان ارتفاع الأسطوانة أو طولها هو ﻉ، فلأن الحجم يساوي مساحة المقطع العرضي في الارتفاع، يمكننا القول: إن الحجم يساوي ‏𝜋‏نق تربيع في ﻉ. وهذه هي النتيجة التي سنستخدمها في الأمثلة التي سنوردها في هذا الفيديو.

على سبيل المثال، أوجد حجم الأسطوانة المعطاة لأقرب جزء من عشرة. الدائرة التي تمثل قاعدة الأسطوانة، طول نصف قطرها ٤٫٢ أقدام. وارتفاع الأسطوانة ٦٫٥ أقدام.

إذن نكتب نق، نصف القطر، يساوي ٤٫٢ وﻉ، الارتفاع، يساوي ٦٫٥. وطريقة الحل تعتمد على أن الحجم يساوي مساحة المقطع العرضي في الارتفاع. وبما أن المقطع العرضي عبارة عن دائرة، فستكون المساحة ‏𝜋‏ في مربع طول نصف القطر. أي ‏𝜋‏ في ٤٫٢ تربيع. علينا الانتباه إلى أن القيمة ٤٫٢ وحدها هي المربعة لا ‏𝜋‏. نحصل على ‏𝜋‏ في ١٧,٦٤، أي إن المساحة تساوي ٥٥٫٤١٧٦٩٤٤١ وهكذا مع توالي الأرقام قدمًا مربعة.

ولكن لإيجاد الحجم، تذكر أننا سنضرب في الارتفاع أيضًا. هيا نضف ذلك إلى الحل. ‏٥٥٫٤١٧٦٩٤٤١ في ٦٫٥ يساوي ٣٦٠٫٢١٥٠١٣٧ وهكذا مع توالي الأرقام قدمًا مكعبة. ولكن السؤال يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب جزء من عشرة. لذا سأغطي جميع الأرقام بعد الجزء من عشرة، ثم أسترق النظر إلى الرقم التالي لأعرف ما إذا كنا سنقرب لأعلى أم لا. حسنًا، الرقم التالي هو واحد. إذا كان خمسة فما فوق، نقرب الاثنين لأعلى إلى ثلاثة. لكنه ليس كذلك؛ إنه واحد فقط. لذا سنبقي على العدد اثنين كما هو. وتكون الإجابة لأقرب جزء من عشرة هي ٣٦٠٫٢ قدمًا مكعبة.

والآن، لنلق نظرة على مثال مشابه. ولكن هذه المرة نعلم طول قطر الأسطوانة وليس طول نصف القطر.

تذكر أن طول نصف القطر هو نصف طول القطر. إذن لإيجاد طول نصف القطر، سنقسم ١٤ على اثنين أو نضربه في نصف. وهذا يساوي سبع بوصات. صيغة الحجم هي ﺡ يساوي ‏𝜋‏نق تربيع ﻉ. بالتعويض عن طول نصف القطر بسبع بوصات وعن الارتفاع بـ ١٣ بوصة، نحصل على ‏𝜋‏ في سبعة تربيع في ١٣. مرة أخرى، انتبه إلى أن التربيع للسبعة فقط وليس لـ ‏𝜋‏. إذن، لدينا ‏𝜋‏ في ٤٩ في ١٣. عند كتابة ذلك على الآلة الحاسبة وتقريب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة، نحصل على ٢٠٠١٫٢ بوصة مكعبة.

في هذا المثال، المطلوب هو إيجاد حجم أسطوانة نصف قطرها أربعة سنتيمترات وارتفاعها ١٤ سنتيمترًا. ومطلوب أيضًا أن نوجد الإجابة بدلالة ‏𝜋‏.

لدينا هنا أمران. الأول، أنه ليس لدينا شكل توضيحي. والثاني، أن علينا إيجاد الإجابة بدلالة ‏𝜋‏، هذا يعني أننا لن نصل إلى الحل بمجرد كتابة العدد على الآلة الحاسبة وتقريب الناتج. لا تحتاج هنا إلى شكل توضيحي، ولكنه عادة يساعدك في تنظيم أفكارك أثناء الحل. لذا أنصح برسم شكل بسيط. ها هي الأسطوانة إذن. ارتفاعها ١٤ سنتيمترًا وطول نصف قطرها أربعة سنتيمترات.

بعد ذلك، يمكننا كتابة صيغة الحجم. حجم الأسطوانة يساوي ‏𝜋‏ في مربع طول نصف القطر في الارتفاع. وبعدها يمكننا التعويض بالأعداد التي لدينا، إذن ‏𝜋‏ في أربعة تربيع في ١٤، يساوي ‏𝜋‏ في ١٦ في ١٤. ‏١٦ في ١٤ يساوي ٢٢٤. إذن، الإجابة هي ٢٢٤ في ‏𝜋‏. بالرجوع للسؤال، نعلم أن القياسات بالسنتيمتر. إذن سيكون الحجم بوحدة السنتيمتر المكعب. وبما أنه لدينا الآن. فهذه هي الإجابة. ‏٢٢٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مكعبًا. إذن عندما يطلب منا السؤال إيجاد الإجابة بدلالة ‏𝜋‏، فهذا يعني التعبير عنها في صورة مضاعف من مضاعفات ‏𝜋‏.

والآن، يمكننا الانتقال إلى مستوى أعلى من الصعوبة بتحويل هذه المسائل إلى مسائل كلامية. فبدلًا من أن نذكر صراحة أن لدينا أسطوانة ونذكر نصف قطرها وارتفاعها ونجري العملية الحسابية فقط، سيكون علينا معرفة ما تعنيه المتغيرات المختلفة بناء على سياق السؤال.

لذا، دعونا نلق نظرة على بعض أمثلة ذلك.

إذا كانت ٧٫٥ جالونات من المياه تقريبًا تكفي لملء قدم مكعبة واحدة، فكم جالونًا كاملًا من المياه سيعبئ خزان مياه أسطواني الشكل قطره ٢٠ قدمًا وارتفاعه ١٢ قدمًا، إذا كان الخزان مملوءًا بالكامل؟

حسنًا، لنرسم أولًا شكلًا توضيحيًّا. لدينا هنا خزان أسطواني مملوء بالكامل بالمياه، وعمقه أو ارتفاعه يساوي ١٢ قدمًا وقطره ٢٠ قدمًا. أولًا، يمكننا كتابة أن الحجم يساوي ‏𝜋‏ في مربع طول نصف القطر في الارتفاع. ثم نعوض بالأعداد التي نعرفها. حسنًا، طول نصف القطر هو نصف طول القطر، ونصف الـ ٢٠ يساوي ١٠. إذن مربع طول نصف القطر سيكون ١٠ تربيع. من المهم أن نتذكر أن التربيع لـ ١٠ فقط لا لـ ‏𝜋‏ أيضًا. الارتفاع ١٢، سنضرب هذا الناتج في ١٢.

إذن ستكون العملية الحسابية ‏𝜋‏ في ١٠ تربيع، أي ١٠٠ في ١٢، لنحصل على ‏𝜋‏ في ١٢٠٠ أو ١٢٠٠‏𝜋‏ قدم مكعبة. الآن، سأترك الإجابة بدلالة ‏𝜋‏ لمزيد من الدقة. إذ إننا إذا بدأنا في التقريب لبعض المنازل العشرية، فستنتقل أخطاء هذا التقريب إلى العملية الحسابية كلها، وبالتالي تصبح الإجابة النهائية غير دقيقة. أوجدنا إذن حجم الخزان بالقدم المكعبة، ولكن السؤال يطلب منا إيجاد عدد جالونات المياه التي ستملأ خزان المياه الأسطواني.

كل قدم مكعبة تحتوي على ٧٫٥ جالونات من المياه. إذا كان لدينا ١٢٠٠‏𝜋‏ قدم مكعبة، فسيكون لدينا ٧٫٥ أمثال هذا العدد من جالونات المياه. إذن، العملية الحسابية التي علينا إجراؤها لإيجاد عدد الجالونات هي ٧٫٥ في ١٢٠٠‏𝜋‏، ويمكن إدخالها على الآلة الحاسبة. والآن، يمكننا التقريب في نهاية السؤال. والسؤال يريد عدد الجالونات الكاملة؛ لذا فعلينا التقريب لأقرب جالون. بتقريب هذا العدد، نحصل على ٢٨٢٧٤. إذن، يمكننا في النهاية كتابة الإجابة بهذا الشكل المرتب: ٢٨٢٧٤ جالونًا من المياه.

أيهما أكبر حجمًا: مكعب طول حرفه أربعة سنتيمترات، أم أسطوانة نصف قطرها ثلاثة سنتيمترات وارتفاعها ثمانية سنتيمترات؟

ما سنفعله هنا هو حساب حجم المكعب، وأيضًا حساب حجم الأسطوانة، ثم المقارنة بينهما. أولًا المكعب، لنرسم شكلًا توضيحيًّا: أربعة سنتيمترات في أربعة سنتيمترات في أربعة سنتيمترات. ومن ثم فالحجم يساوي أربعة في أربعة في أربعة. وبما أن وحدة الطول هي السنتيمتر، فإن الحجم سيكون بالسنتيمتر المكعب. أربعة في أربعة في أربعة يساوي ٦٤. إذن حجم المكعب يساوي ٦٤ سنتيمترًا مكعبًا.

والآن نرسم شكلًا توضيحيًّا للأسطوانة. ونستخدم صيغة الحجم؛ ‏𝜋‏ في مربع طول نصف القطر في الارتفاع. لكن تذكر أن التربيع للثلاثة فقط. وليس لـ ‏𝜋‏. إذن لدينا ‏𝜋‏ في ثلاثة تربيع في ثمانية. ثلاثة تربيع يساوي تسعة. وتسعة في ثمانية يساوي ٧٢. نحصل على ‏𝜋‏ في ٧٢. لم يطلب منا مستوى محدد لدقة الإجابة. ولكننا سنقرب الإجابة إلى أقرب منزلتين عشريتين ليصبح لدينا ٢٢٦٫١٩ سنتيمترًا مكعبًا.

مرة أخرى، الأطوال بالسنتيمتر، والحجم بالسنتيمتر المكعب، والعددان اللذان سنقارنهما بالوحدة نفسها — السنتيمتر المكعب. يمكننا الآن مقارنة العددين. ‏٢٢٦٫١٩ أكبر بكثير من ٦٤ كما هو واضح، إذن الأسطوانة أكبر حجمًا.

والآن، هيا نلخص ما تعلمناه. أولًا، الأسطوانة شكل من أشكال المنشور، ولها قطاع عرضي دائري. ولحساب حجم المنشور، نوجد مساحة القطاع العرضي ونضربها في طول المنشور أو ما يسمى أحيانًا ارتفاع المنشور. حجم الأسطوانة، ﺡ، يساوي ‏𝜋‏ في مربع طول نصف القطر في الارتفاع.

إليك نصيحة مهمة، تأكد دائمًا مما إذا كان المعطى في السؤال هو قطر الأسطوانة أم نصف قطرها. فهذا مهم للغاية. وأخيرًا، عند حل مسائل كلامية، تأكد من قراءة السؤال بعناية لتعرف المعلومات المهمة، وتأكد من وحدات القياس. اهتم أيضًا بالرسم التوضيحي؛ لأنه يساعدك كثيرًا في تنظيم أفكارك أثناء الحل.