نسخة الفيديو النصية
الدائرتان ﻡ وﻥ تتقاطعان عند النقطتين ﺃ وﺏ والنقطة ﺟ تحقق ﺟ تنتمي إلى الشعاع ﺏﺃ، وﺟ لا تنتمي إلى القطعة المستقيمة ﺏﺃ. ﺩ وﻫ نقطتان؛ حيث القطعة المستقيمة ﺟﻫ تقطع الدائرة ﻡ، والشعاع ﺟﻭ مماس للدائرة ﻥ. إذا كان ﺟﺩ تساوي سبعة وﺩﻫ تساوي ١٢، فأوجد ﻕﻥﺟ.
لدينا معطيات كثيرة جدًّا في هذا السؤال، لذا دعونا نبدأ برسم شكل. لدينا دائرتان مركزاهما ﻡ وﻥ. ولا نعرف أيهما أكبر. وفي الواقع، هذا حقًّا غير مهم. هاتان الدائرتان تتقاطعان عند النقطتين ﺃ وﺏ. ونعلم من المعطيات أن النقطة ﺟ تقع على الشعاع ﺏﺃ، لكنها لا تقع على القطعة المستقيمة ﺏﺃ. هذا يعني أنه إذا رسمنا الشعاع ﺏﺃ، فإن ﺟ تقع في موضع ما على هذا الشعاع، لكنها لا تقع بين ﺃ وﺏ. إذن، ربما تقع هنا. لدينا بعد ذلك القطعة المستقيمة ﺟﻫ التي تقطع الدائرة ﻡ عند نقطتين ﺩ وﻫ، ويمكننا إضافة هذه القطعة إلى الشكل. يوجد بعد ذلك الشعاع ﺟﻭ، وهو مماس للدائرة ﻥ. إذن هذا هو المستقيم الأخير. آخر المعطيات هو طولا قطعتين مستقيمتين. ﺟﺩ تساوي سبع وحدات، وﺩﻫ تساوي ١٢ وحدة.
إذن، أصبح لدينا شكل. والآن لنلق نظرة على المطلوب منا إيجاده. ﻕﻥﺟ تعني قوة النقطة ﺟ بالنسبة إلى الدائرة ﻥ. وتحسب باستخدام الصيغة ﺟﻥ تربيع ناقص نق تربيع؛ حيث نق هو نصف قطر الدائرة ﻥ. إذن فهي المسافة بين النقطة ﺟ ومركز الدائرة تربيع ناقص نصف القطر تربيع. لكن ليس لدينا أي من هذه المعلومات، لذا سيكون علينا استخدام طريقة أخرى. دعونا نلق نظرة على الدائرة ﻡ أولًا لأن لدينا معلومات أكثر عن هذه الدائرة. ففي الدائرة ﻡ، نعرف طولي ﺟﺩ وﺩﻫ، وكل منهما قطعة مستقيمة من قاطع لهذه الدائرة. بناء على ذلك، يمكننا تذكر نظرية قوة النقطة لأطوال القطع المستقيمة من قاطع. ونبين فيما يأتي ما تنص عليه.
لنفترض أن لدينا الدائرة ﻡ والنقطة ﺟ خارج الدائرة. ولنفترض أيضًا أن القطعة المستقيمة ﺟﻫ قطعة مستقيمة من قاطع للدائرة عند ﺩ وﻫ. إذن، فإن قوة النقطة ﺟ بالنسبة إلى الدائرة ﻡ تساوي ﺟﺩ مضروبًا في ﺟﻫ. هذا رائع؛ فنحن نعرف طول ﺟﺩ. وهو سبع وحدات. وطول ﺟﻫ يساوي سبعة زائد ١٢. فهو ١٩ وحدة. إذن، يمكننا إيجاد قوة النقطة ﺟ بالنسبة إلى الدائرة ﻡ بضرب سبعة في ١٩، وهو ما يساوي ١٣٣.
لكن ليس هذا هو المطلوب إيجاده. فمطلوب منا إيجاد قوة النقطة ﺟ بالنسبة إلى الدائرة ﻥ. حسنًا، المستقيم ﺟﺏ أو ﺏﺟ هو أيضًا قاطع للدائرة ﻡ، ويفهم من ذلك أن حاصل ضرب طولي القطعتين المستقيمتين ﺟﺃ وﺟﺏ من القاطع سيساوي أيضًا ١٣٣. وهذا لأن قوة نقطة بالنسبة إلى دائرة معطاة هي دائمًا نفسها. إذن لدينا المعادلة ﺟﺃ مضروبًا في ﺟﺏ يساوي ١٣٣. لكن هذا مفيد؛ لأن ﺟﺏ ليست مجرد قطعة مستقيمة من قاطع للدائرة ﻡ، وإنما أيضًا قطعة مستقيمة من قاطع للدائرة ﻥ. فهي، في الواقع، قطعة مستقيمة من قاطع مشترك للدائرتين.
إذن باستخدام نظرية قوة النقطة لأطوال القطع المستقيمة من قاطع بالنسبة إلى الدائرة ﻥ، لدينا ﻕﻥﺟ يساوي ﺟﺃ مضروبًا في ﺟﺏ. وقد حددنا توًّا أن هذا يساوي ١٣٣. بعبارة أخرى، ما توصلنا إليه هو أن قوة النقطة ﺟ بالنسبة إلى كل من الدائرتين، والتي توجد باستخدام قاطعهما المشترك، هي نفسها. إذن يمكننا استنتاج أن قوة النقطة ﺟ بالنسبة إلى الدائرة ﻥ تساوي ١٣٣.
