فيديو الدرس: النسب المثلثية على دائرة الوحدة

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم حقيقة أن الربع الذي تقع فيه الزاوية يحدد إشارات دوالها المثلثية: الجيب وجيب التمام والظل، التي نستخدمها في حل المعادلات المثلثية. ولنبدأ باسترجاع ما نعرفه عن الزوايا على المستوى الإحداثي.

على المستوى الإحداثي، يكون المركز هو نقطة الأصل. عند قياس زوايا في المستوى الإحداثي، يكون محور ﺱ الموجب هو الضلع الابتدائي، أي نقطة بداية القياس. يمثل محور ﺱ الموجب وهو البداية زاوية قياسها صفر درجة. وحين نصل إلى محور ﺹ الموجب، يبلغ قياس الزاوية ٩٠ درجة. وعند محور ﺱ السالب يبلغ قياسها ١٨٠ درجة. وعند محور ﺹ السالب يبلغ ٢٧٠ درجة. ونعود إلى البداية لنقطع دورة كاملة ليصبح القياس ٣٦٠ درجة. وهذا يساوي بالراديان صفرًا، و‏𝜋‏ على اثنين، و‏𝜋‏، وثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين، وأخيرًا اثنين ‏𝜋‏.

الشعاع الذي يمثل النقطة التي ينتهي قياس الزاوية عندها يسمى الضلع النهائي. والزاوية في الوضع القياسي تقع بين الضلع الابتدائي والضلع النهائي. لكننا نريد تناول الزوايا التي تقع على دائرة الوحدة تحديدًا. يقع مركز دائرة الوحدة عند نقطة الأصل، ونصف قطرها يساوي وحدة واحدة. وبالنسبة إلى إحداثي ما ﺱ وﺹ في الربع الأول، يصبح الطولان على المحورين ﺱ وﺹ يمثلان ساقي مثلث قائم الزاوية. وبما أننا نعلم أن نصف قطر هذه الدائرة يساوي واحدًا، فإن طول وتر المثلث القائم الزاوية سيساوي واحدًا.

إذا سمينا طولي الضلعين هنا ﺱ وﺹ، فيمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس التي تنص على أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع، وفي دائرة الوحدة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا القول إن معادلة دائرة الوحدة ستكون بالتأكيد ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي واحدًا. لكن ما نريد فعله الآن هو تناول بعض قوانين حساب المثلثات الخاصة بدائرة الوحدة، وهي: الجيب وجيب التمام والظل. نعلم أن جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، وظل الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور.

بالنسبة إلى الزاوية 𝜃 داخل دائرة الوحدة، فإن طول الضلع المقابل سيساوي دائمًا قيمة ﺹ، فهو الساق الرأسية. وجا 𝜃 سيساوي ﺹ على واحد؛ لأن طول الوتر في دائرة الوحدة يساوي واحدًا دائمًا. إذن، جا 𝜃 يساوي ﺹ في دائرة الوحدة. وبالمثل، فإن الضلع المجاور سيكون الساق الأفقية، أي قيمة ﺱ. وهذا يعني في دائرة الوحدة أن جتا 𝜃 يساوي ﺱ. كما يعني أن ظل الزاوية 𝜃 سيساوي ﺹ على ﺱ.

قبل أن نتناول بعض الأمثلة، هناك أمر أخير علينا معرفته. وهو إشارات الزوايا في أرباع المستوى الإحداثي. إذا احتفظنا بدائرة الوحدة، ونظرنا إلى ﺱ وﺹ في الربع الأول، فإننا نجد أن جميع قيم ﺱ موجبة وجميع قيم ﺹ موجبة. هذا يعني أن جا 𝜃 سيكون موجبًا لأن ﺹ موجب، وجتا 𝜃 سيكون موجبًا لأن ﺱ موجب، وبما أن ﺱ وﺹ موجبان، فإن ظا 𝜃 سيكون موجبًا أيضًا. وهذا يعني أنه في الربع الأول، جميع العلاقات المثلثية موجبة.

لكن عندما نتحرك إلى الربع الثاني ونكون زاوية قائمة من النقطة سالب ﺱ، ﺹ، فإننا نتعامل مع قيم ﺱ سالبة وقيم ﺹ موجبة. تكون قيمة ﺹ موجبة في الربع الثاني؛ ما يجعل جيب الزاوية موجبًا. لكن قيمة ﺱ تكون سالبة. وهذا يعني أنه في الربع الثاني، سيكون جيب تمام الزاوية سالبًا. وبما أن لدينا قيمة موجبة وقيمة سالبة، يصبح ظل الزاوية سالبًا. إذن، يمكننا التعميم بأنه في الربع الثاني، جيب الزاوية يكون موجبًا ولكن جيب التمام والظل يكونان سالبين.

بالانتقال إلى الربع الثالث، تكون قيم ﺱ وﺹ سالبة. وهذا يعني أن جيب الزاوية سيكون سالبًا، وجيب تمام الزاوية سيكون سالبًا كذلك. لكن بالنسبة إلى ظل الزاوية، فإنه يساوي سالب ﺹ على سالب ﺱ؛ ومن ثم سيكون موجبًا. إذن في الربع الثالث، يكون جيب الزاوية وجيب التمام سالبين، في حين يكون ظل الزاوية موجبًا. وأخيرًا، في الربع الرابع، تكون قيم ﺱ موجبة وقيم ﺹ سالبة. وينتج عن هذا قيمة سالبة لجيب الزاوية، وقيمة موجبة لجيب التمام، وقيمة سالبة للظل.

علينا تذكر أي العلاقات المثلثية يكون موجبًا في كل من الأرباع الأربعة. يساعدنا ذلك في حل المسائل. في الربع الأول، تكون جميع القيم موجبة. في الربع الثاني، يكون جيب الزاوية موجبًا. في الربع الثالث، يكون ظل الزاوية موجبًا. وفي الربع الرابع، يكون جيب تمام الزاوية موجبًا. والآن، يمكننا تناول بعض الأمثلة.

أوجد جا 𝜃، علمًا بأن 𝜃 في وضعها القياسي، ويمر ضلعها النهائي بالنقطة ثلاثة أخماس، سالب أربعة أخماس.

من المفيد هنا رسم مستوى إحداثي. على هذا المستوى الإحداثي، نريد تمثيل النقطة ثلاثة أخماس، سالب أربعة أخماس، وهي هنا. إذا علمنا أن الضلع النهائي الزاوية يمر بهذه النقطة، وأن الزاوية في وضعها القياسي، فإن الضلع الابتدائي سيكون الشعاع الذي يبدأ عند نقطة الأصل ويمر بمحور ﺱ الموجب. هذا يعني أن الزاوية التي نريدها تقع من الضلع الابتدائي إلى الضلع النهائي. لكن، لحساب ذلك، سنكون زاوية قائمة مع المحور ﺱ.

عندما نفعل ذلك، سنحصل على مثلث قائم الزاوية. وسنستخدم الزاوية المكونة مع المحور ﺱ في الحل. يمكننا حل هذه المسألة باستخدام قوانين حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، حيث لدينا مثلث قائم الزاوية، طولا ساقيه ثلاثة أخماس وأربعة أخماس. نتذكر أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. لكننا لا نعرف حاليًا طول الوتر. لا نعلم المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة ثلاثة أخماس، سالب أربعة أخماس. يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد ذلك؛ ما يعني أن ثلاثة أخماس تربيع زائد أربعة أخماس تربيع يساوي ﺟ تربيع. تسعة على ٢٥ زائد ١٦ على ٢٥ يساوي ﺟ تربيع. ‏‏٢٥ على ٢٥ يساوي واحدًا. وإذا كان ﺟ تربيع يساوي واحدًا، فلا بد أن ﺟ يساوي واحدًا.

والآن بعد أن عرفنا أن طول الوتر يساوي واحدًا، يمكننا معرفة شيء آخر عن هذه الزاوية في المستوى الإحداثي. وهو أن هذه النقطة تقع على دائرة الوحدة. مركز دائرة الوحدة هو نقطة الأصل، ونصف قطرها يساوي واحدًا. نحن نحاول إيجاد جيب الزاوية 𝜃. وهو يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وأيضًا في دائرة الوحدة، جا 𝜃 يساوي إحداثي ﺹ. إحداثي ﺹ لهذه النقطة يساوي سالب أربعة أخماس. وبذلك نقول: جا 𝜃 يساوي سالب أربعة أخماس. إذا أردنا التأكد من ذلك، فيمكننا تذكر أن الزوايا التي تقع في الربع الرابع، يكون جيب تمامها موجبًا، ولكن جيبها وظلها يكونان سالبين، وهو ما يؤكد أن جا 𝜃 يساوي سالب أربعة أخماس.

لنلق نظرة على مثال آخر.

افترض أن ﻝ نقطة على دائرة وحدة مناظرة للزاوية أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة. هل هناك نقطة أخرى على دائرة الوحدة تمثل زاوية في الفترة من صفر إلى اثنين ‏𝜋‏ لها نفس ظل الزاوية الأولى؟ إذا كانت موجودة، فأوجد الزاوية.

أولًا، قد نرغب في رسم مستوى إحداثي ثم إضافة دائرة وحدة، وهي دائرة يقع مركزها عند نقطة الأصل ونصف قطرها يساوي واحدًا. ومن ثم، قد نرغب أيضًا في تسمية المستوى الإحداثي باستخدام الراديان، الذي يبدأ من صفر، ثم ‏𝜋‏ على اثنين، ثم ‏𝜋‏، ثم ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين، ثم اثنين ‏𝜋‏. ونظرًا لأن الفترة لدينا من صفر إلى اثنين ‏𝜋‏، فنحن نعرف أن ما يعنينا هنا هو دورة كاملة. تقع النقطة ﻝ على دائرة الوحدة، وهي تناظر الزاوية أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة. هذا يعني أن مهمتنا الأولى هي إيجاد موضع الزاوية أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة.

نعلم أن أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة أكبر من ‏𝜋‏، لكن يجدر بنا المقارنة لمعرفة ما إذا كان أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة أكبر من أو أصغر من ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين. إذا وحدنا مقامي هذين الكسرين، فإن أربعة ‏𝜋‏ على اثنين يصبح ثمانية ‏𝜋‏ على ستة، وثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين يصبح تسعة ‏𝜋‏ على ستة. بما أن ثمانية ‏𝜋‏ على ستة أصغر من تسعة ‏𝜋‏ على ستة، يمكننا القول إن أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة أصغر من ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين. وهذا يعني أن النقطة ﻝ تقع في الربع الثالث، وأن أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة هي هذه الزاوية.

بما أننا نعلم أن الزاوية تقع في الربع الثالث، إذن يمكننا تذكر أن ظل الزاوية في الربع الثالث يكون موجبًا. لكي نتمكن من إيجاد نقطة أخرى داخل دائرة الوحدة لها نفس قيمة ظل الزاوية، سنبحث في الربع الآخر الذي تكون فيه قيمة ظل الزاوية موجبة. وهذا هو الربع الأول. في الربع الأول، تكون جميع القيم المثلثية موجبة.

لكن لكي نوجد قياس الزاوية المطلوبة في الربع الأول، علينا تقسيم الزاوية أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة إلى أجزاء أصغر. يمكننا القول إن أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي ‏𝜋‏ زائد ‏𝜋‏ على ثلاثة، أي المسافة من صفر إلى ‏𝜋‏ ثم مسافة إضافية قدرها ‏𝜋‏ على ثلاثة. والمثلث القائم الزاوية المرسوم داخل دائرة الوحدة للزاوية ‏𝜋‏ على ثلاثة في الربع الثالث سيبدو هكذا.

في الربع الأول، ستكون هناك نقطة ما سنتعامل فيها أيضًا مع الزاوية ‏𝜋‏ على ثلاثة. في الربع الأول، سيكون لهذه النقطة الإحداثيات ﺱ وﺹ. وفي الربع الثالث، سيكون للنقطة المناظرة الإحداثيات سالب ﺱ، وسالب ﺹ. ونعلم أنه في دائرة الوحدة، ظا 𝜃 يساوي ﺹ على ﺱ. ويمكننا القول إن ظا أربعة على ثلاثة ‏𝜋‏ يساوي سالب ﺹ على سالب ﺱ، وظل الزاوية ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي ﺹ على ﺱ. لكننا نبسط سالب ﺹ على سالب ﺱ إلى ﺹ على ﺱ فقط. وبذلك نكون قد أثبتنا أنه توجد زاوية أخرى في هذه الفترة لها نفس قيمة ظل الزاوية. وهي الزاوية ‏𝜋‏ على ثلاثة.

في المثال التالي، سنتناول تطبيقًا على دائرة الوحدة.

لدينا طاحونة هواء طول شفراتها متر واحد. نحصل على الموضع العلوي ﻝ للشفرة المعطاة من إحداثياتها (ﺃ، ﺏ) التي تعتمد على الزاوية 𝜃 كما هو موضح. عبر عن ﺃ وﺏ في صورة دالتين لقياس الزاوية 𝜃 بالراديان. إذا كانت الزاوية 𝜃 عند زمن معين تساوي خمسة أثلاث ‏𝜋‏، فماذا ستساوي بعد إكمال الشفرة للدوران نصف دورة؟

بما أن طول الشفرات يساوي مترًا واحدًا، وفي هذا الشكل، تمثل هذه الشفرة نصف قطر الطاحونة، فيمكننا استخدام ما نعرفه عن دائرة الوحدة لمساعدتنا في حل هذه المسألة. المسافة من مركز الطاحونة إلى النقطة ﻝ تساوي واحدًا. ونعرف من المسألة أن النقطة ﻝ تقع عند ﺃ، ﺏ. إذن، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية مع المحور ﺱ ونقول إن طولي ساقيه هما ﺃ وﺏ على الترتيب. نستخدم المسافة من الضلع النهائي إلى المحور ﺱ لقياس الزاوية 𝜃. نعلم أنه في دائرة الوحدة، يمكننا تمثيل الزاوية على أنها علاقة بين الجيب وجيب التمام. بالنسبة إلى الزاوية 𝜃، طول الضلع المقابل سيكون ﺏ وطول الوتر يساوي مترًا واحدًا، إذن جا 𝜃 يساوي ﺏ على واحد. ويمكننا أن نقول إن ﺏ يساوي جا 𝜃.

وبالمثل، إذا نظرنا إلى جيب التمام، فإنه يساوي طول الضلع ﺃ على واحد؛ ما يعني أنه يمكننا القول إن المسافة ﺃ لا بد أن تساوي جتا 𝜃. ودون أي معلومات إضافية، هذا أقصى ما يمكننا الوصول إليه باستخدام هاتين الدالتين. يمكننا القول إن ﺏ يساوي جا 𝜃 وﺃ يساوي جتا 𝜃.

يقول الجزء الثاني من السؤال: إذا كان قياس الزاوية 𝜃 عند زمن معين يساوي خمسة ‏𝜋‏ على ثلاثة، فماذا ستساوي بعد إكمال الشفرة للدوران نصف دورة؟ أولًا، قيل لنا إننا نستخدم الراديان؛ ومن ثم قد يكون من المفيد تسمية المستوى الإحداثي. بداية من المحور ﺱ، لدينا صفر راديان، ثم ‏𝜋‏ على اثنين راديان، ثم ‏𝜋‏ راديان، ثم ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين راديان، ثم الدورة الكاملة وتساوي اثنين ‏𝜋‏ راديان. في نظام كهذا، تتم الدورة الكاملة عند اثنين ‏𝜋‏. وعليه، فإن نصف دورة ستساوي ‏𝜋‏ راديان.

إذا بدأنا بالزاوية 𝜃 التي قياسها يساوي خمسة ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان وأضفنا نصف دورة، فإننا نضيف ‏𝜋‏ إلى قياس هذه الزاوية. وكما في عملية جمع الكسور، نحتاج إلى مقام مشترك. يمكننا كتابة ‏𝜋‏ على صورة ثلاثة ‏𝜋‏ على ثلاثة. ونجمع خمسة ‏𝜋‏ زائد ثلاثة ‏𝜋‏ لنحصل على ثمانية ‏𝜋‏. والمقام لن يتغير. إذن، قياس الزاوية 𝜃 بعد نصف دورة يساوي ثمانية ‏𝜋‏ على ثلاثة.

قبل أن ننتهي، دعونا نراجع النقاط الأساسية التي تناولناها. دائرة الوحدة هي دائرة يقع مركزها عند نقطة الأصل ونصف قطرها يساوي وحدة واحدة. لأي نقطة على دائرة الوحدة ﺱ، ﺹ، جيب الزاوية 𝜃 الناتج عن هذه النقطة يساوي ﺹ، وجيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي ﺱ. بالإضافة إلى ذلك، ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يجب أن يساوي واحدًا. ورأينا أيضًا أنه يمكن استخدام مخطط CAST لتحديد إشارات الدوال المثلثية في كل ربع.