فيديو السؤال: حل معادلة مصفوفة بإيجاد المعكوس الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت المصفوفة ﺏ تساوي سالب اثنين، سالب خمسة، سالب ستة، سالب ١٠، وﺃ في ﺏ يساوي 𝐼، حيث 𝐼 هي مصفوفة الوحدة، فأوجد المصفوفة ﺃ.

هيا نبدأ باستخدام المعادلة ﺃ في ﺏ يساوي مصفوفة الوحدة، لتكوين معادلة يكون فيها ﺃ هو المتغير التابع. لجعل ﺃ هو المتغير التابع، سنحتاج لضرب الطرفين في معكوس المصفوفة ﺏ. وبما أن معكوس ﺏ في ﺏ يساوي ببساطة مصفوفة الوحدة، فإن ضرب الطرفين في معكوس ﺏ سيعطينا ﺃ يساوي معكوس ﺏ في 𝐼. وبما أن 𝐼 هي مصفوفة الوحدة، فلا بد أن ﺃ يساوي معكوس ﺏ.

إذن سنحتاج لإيجاد معكوس ﺏ الضربي. للمصفوفة ﺏ التي رتبتها اثنان في اثنين، وعناصرها ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ؛ فإن المعكوس يعطى بالصيغة واحد على قيمة محدد ﺏ مضروبًا في ﺩ، سالب ﺏ، سالب ﺟ، ﺃ، حيث قيمة المحدد تساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ.

لاحظ أن هذا يعني أنه إذا كانت قيمة محدد المصفوفة ﺏ صفرًا، فلن يكون هناك معكوس؛ لأن واحدًا على قيمة محدد ﺏ ستكون واحدًا على صفر، وهي قيمة غير معرفة. هيا نبدأ بالتعويض بعناصر ﺏ في صيغة إيجاد قيمة المحدد التي لدينا.

‏ﺃ في ﺩ يساوي سالب اثنين في سالب ١٠. وﺏ في ﺟ يساوي سالب خمسة في سالب ستة. سالب اثنين في سالب ١٠ يساوي ٢٠ وسالب خمسة في سالب ستة يساوي ٣٠. ‏٢٠ ناقص ٣٠ يساوي سالب ١٠. إذن، قيمة محدد المصفوفة ﺏ هي سالب ١٠.

الآن، سنعوض بهذه القيمة في صيغة معكوس ﺏ. تذكر أننا نبادل بين العنصرين ﺃ وﺩ. وهما العنصران العلوي الأيمن والسفلي الأيسر في المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين التي لدينا. نبادل بين سالب ١٠ وسالب اثنين. نضرب ﺏ وﺟ، وهما العنصران العلوي الأيسر والسفلي الأيمن، في سالب واحد، أي نغير إشارتيهما.

معكوس المصفوفة يصبح سالب عشر في سالب ١٠، خمسة، ستة، سالب اثنين. وأخيرًا، يمكننا ضرب كل عناصر المصفوفة في سالب عشر لنحصل على واحد، سالب نصف، سالب ثلاثة أخماس، وخمس.

ذكرنا من قبل أن ﺃ يساوي معكوس ﺏ. إذن، المصفوفة ﺃ هي واحد، سالب نصف، سالب ثلاثة أخماس، خمس.