فيديو السؤال: إيجاد السعة الأساسية لعدد مركب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻉ يساوي تسعة زائد ثلاثة ﺕ، فأوجد السعة الأساسية للعدد ﻉ لأقرب منزلتين عشريتين.

في هذا السؤال، لدينا عدد مركب ﻉ. ومطلوب منا إيجاد السعة الأساسية لهذا العدد المركب ﻉ. علينا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. ولفعل ذلك، علينا أولًا أن نتذكر المقصود بسعة العدد المركب ﻉ، ومعنى أن تكون هذه السعة هي السعة الأساسية. سعة العدد المركب ﻉ هي الزاوية التي يصنعها الشعاع من نقطة الأصل إلى ﻉ مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي على مخطط أرجاند. يعني هذا أنه في كل مرة يطلب منا إيجاد سعة عدد مركب ﻉ، فمن الجيد أن نرسم ذلك على مخطط أرجاند.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد سعة ﻉ يساوي تسعة زائد ثلاثة ﺕ، لذا سنحدد ذلك على مخطط أرجاند. تذكر أنه على مخطط أرجاند، المحور الأفقي يمثل الجزء الحقيقي من العدد المركب، والمحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي منه. في هذا السؤال، لدينا ﻉ معطى في الصورة الجبرية. وهي ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان. يعني هذا أنه يمكننا قراءة الجزأين الحقيقي والتخيلي من العدد المركب ﻉ. الجزء الحقيقي هو الثابت الذي يكون بمفرده. وهو تسعة. والجزء التخيلي هو معامل ﺕ. وهو هنا ثلاثة.

هذا يعني أن الإحداثي الأفقي لـ ﻉ على مخطط أرجاند يساوي تسعة، والإحداثي الرأسي يساوي ثلاثة. يمكننا إذن تمثيل ذلك على مخطط أرجاند. نحن الآن مستعدون لإيجاد سعة ﻉ. ولفعل ذلك، علينا رسم شعاع من نقطة الأصل إلى النقطة ﻉ. سعة ﻉ هي أي زاوية يصنعها هذا الشعاع مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي. على سبيل المثال، يمكننا تحديد هذه الزاوية 𝜃، ولأن 𝜃 تقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، فإن قيمتها ستكون موجبة، لكن هذه ليست الزاوية الممكنة الوحيدة. يمكننا أيضًا قياس هذه الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة، أي إنه لدينا العديد من الخيارات الممكنة لسعة ﻉ، وهو السبب الذي يجعل لدينا ما نسميه السعة الأساسية لـ ﻉ.

إذا كانت 𝜃 هي أي سعة للعدد المركب ﻉ، فيمكننا القول إن 𝜃 هي السعة الأساسية لـ ﻉ إذا تحقق أحد أمرين مما يلي. إذا كنا نقيس الزاوية بالراديان، فلا بد أن تكون 𝜃 أكبر من سالب ‪𝜋‪ وأقل من أو تساوي ‪𝜋‪. لكن إذا كنا نقيس الزاوية بالدرجات، فيجب أن تكون 𝜃 أكبر من سالب ١٨٠ درجة وأقل من أو تساوي ١٨٠ درجة. في هذا السؤال، سنقيس الزاوية بالدرجات. لكن عادة ما نقيس هذه الزوايا بالراديان، ونلاحظ أننا حددنا بالفعل السعة الأساسية لـ ﻉ على هذا المخطط لأننا نعلم أن قيمة 𝜃 موجبة، كما نعلم أيضًا أنها ستكون زاوية حادة.

لدينا هنا بعض الطرق المختلفة لإيجاد قياس الزاوية 𝜃. وأسهل طريقة لذلك هي تكوين المثلث القائم الزاوية التالي. نتجه رأسيًّا لأسفل من ﻉ إلى المحور الحقيقي ثم إلى نقطة الأصل. فتكون قاعدة هذا المثلث القائم الزاوية هي مقياس الجزء الحقيقي من العدد ﻉ، أي تسعة، ويكون ارتفاع هذا المثلث القائم الزاوية هو مقياس الجزء التخيلي من العدد ﻉ. وهو يساوي ثلاثة. يمكننا بعد ذلك إيجاد قياس الزاوية 𝜃 باستخدام حساب المثلثات. ‏ظا 𝜃 في المثلث القائم الزاوية يساوي طول الضلع المقابل لـ 𝜃 مقسومًا على طول الضلع المجاور لـ 𝜃. لدينا هنا ظا 𝜃 يساوي ثلاثة مقسومًا على تسعة. ويمكننا إيجاد قيمة 𝜃 بأخذ الدالة العكسية للظل لطرفي هذه المعادلة.

يمكننا الآن تبسيط ثلاثة على تسعة إلى ثلث. ولكن هذا ليس ضروريًّا. نحصل على 𝜃 تساوي الدالة العكسية للظل لثلاثة على تسعة. ثمة أمر جدير بالذكر هنا. إذا كنا نحل ذلك في صورة معادلة، فسندرك أن هناك عدة حلول، ومن ثم علينا التحقق دائمًا من المخطط للتأكد من أننا نوجد القيمة الصحيحة. في هذه الحالة، تكون 𝜃 زاوية حادة، وهي موجبة لأنها تقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. إذا حسبنا قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة على وضع الدرجات، فسنحصل على العدد العشري غير المنتهي ١٨٫٤٣٤، وهذه قيمة حادة موجبة. في الواقع، هذه هي القيمة الحادة الموجبة الوحيدة التي تمثل حلًّا لهذه المعادلة. وعليه، فهذه هي القيمة الصحيحة للزاوية 𝜃.

تجدر الإشارة هنا إلى أن هناك طرقًا أخرى كان بإمكاننا إيجاد قياس هذه الزاوية بها. لكن عادة ما تكون أسهل طريقة هي إيجاد زاوية حادة على المخطط واستخدامها لإيجاد السعة الأساسية. بذلك نكون قد انتهينا تقريبًا. يطلب منا السؤال شيئًا آخر. فعلينا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. وللقيام بذلك، ننظر إلى المنزلة العشرية الثالثة في الإجابة، وهي تساوي أربعة، أي أقل من خمسة. وعليه، نعرف أنه علينا التقريب لأسفل، وهذه هي الإجابة النهائية. إذن، بمعلومية العدد المركب ﻉ يساوي تسعة زائد ثلاثة ﺕ، تمكنا من إيجاد السعة الأساسية للعدد ﻉ لأقرب منزلتين عشريتين. وعرفنا أنها تساوي ١٨٫٤٣ درجة.