نسخة الفيديو النصية
كان ماجد يبحث العلاقة بين مثلث باسكال ومفكوك ذات الحدين. لاحظ أن كل صف في مثلث باسكال يمكن استخدامه لإيجاد معاملات مفكوك ذات الحدين ﺱ زائد ﺹ أس ﻥ، كما هو موضح في الشكل. على سبيل المثال، الصف الخامس في مثلث باسكال يمكن استخدامه لإيجاد معاملات مفكوك ﺱ زائد ﺹ أس أربعة.
هذه مسألة تتكون من جزأين. يقول الجزء الأول: «أوجد معاملات مفكوك ﺱ زائد ﺹ أس ستة عن طريق حساب الصف التالي في مثلث باسكال». إذن، هذا هو مثلث باسكال الذي سمي على اسم عالم الرياضيات الفرنسي بلايز باسكال. كما ذكر في المسألة، الأعداد في كل صف في المثلث تعطي المعاملات في مفكوك ذات الحدين ﺱ زائد ﺹ أس ﻥ.
على سبيل المثال، الأعداد واحد، وثلاثة، وثلاثة، وواحد في الصف الرابع في مثلث باسكال تعطي المعاملات في مفكوك ﺱ زائد ﺹ تكعيب. يمكنك بالطبع التأكد من هذا بنفسك بفك ﺱ زائد ﺹ تكعيب بالكامل، ثم تجميع الحدود المتشابهة. لكن مثلث باسكال يعطينا طريقة مختصرة لإيجاد كل مفكوك من هذه المفكوكات.
مطلوب منا أولًا حساب الصف التالي في مثلث باسكال لإيجاد معاملات مفكوك ﺱ زائد ﺹ أس ستة. إذن، لنلق نظرة على هذا المثلث ونر الأنماط التي يمكننا تحديدها. أولًا: نلاحظ أن عدد القيم في كل صف يزداد بمقدار واحد في كل مرة. إذن ستوجد سبع قيم في الصف السابع من المثلث. بعد ذلك، نرى أن كل صف في المثلث يبدأ وينتهي بالعدد واحد. إذن، يمكننا كتابة العدد واحد على كلا طرفي الصف.
بعد ذلك، إذا نظرنا إلى المثلث بشكل قطري، يمكننا أن نلاحظ نمطًا متزايدًا للأعداد، وهو واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، في كل اتجاه من الاتجاهين. ولمتابعة هذا النمط، يجب أن يكون العددان الثاني وقبل الأخير في صف المثلث ستة.
والآن، لنلق نظرة على كيفية إكمال الأعداد المتبقية في الصف. ولفعل ذلك، علينا النظر إلى العلاقة بين كل صف والصف الذي فوقه. إذا نظرنا إلى العدد ستة في الصف الخامس من المثلث، يمكننا أن نرى أنه يساوي مجموع العددين اللذين يقعان فوقه؛ أي ثلاثة وثلاثة. وبالمثل، إذا نظرنا إلى العدد ١٠ في الصف السادس من المثلث، يمكننا أن نرى أنه يساوي مجموع العددين اللذين يقعان فوقه، أي ستة وأربعة. في الواقع، يتكرر هذا النمط في المثلث بالكامل، وهذه هي الطريقة التي نحسب بها الأعداد في الصف التالي.
يمكن إيجاد العدد الثالث في الصف بجمع خمسة و١٠ معًا لنحصل على ١٥. ويمكن إيجاد العدد التالي بجمع ١٠ و١٠، فنحصل على ٢٠. ويمكن إيجاد العدد الأخير في الصف بجمع ١٠ وخمسة معًا، فنحصل على ١٥. يمكنك أيضًا كتابة هذا العدد بملاحظة أن النصف الأيسر من كل صف في مثلث باسكال متماثل مع النصف الأيمن. وبذلك نكون قد حصلنا على الصف التالي في مثلث باسكال. ونفهم من ذلك أن المعاملات في مفكوك ﺱ زائد ﺹ أس ستة ستصبح واحدًا، وستة، و١٥، و٢٠، و١٥، وستة، وواحدًا.
إذا أردنا أن نعرف كيف سيبدو المفكوك كله، نعلم أنه مع كل حد يتناقص أس الـ ﺱ بمقدار واحد للقيم من ستة إلى صفر، بينما يتزايد أس الـ ﺹ للقيم من صفر إلى ستة. إذن، المفكوك هو ﺱ أس ستة زائد ستة ﺱ أس خمسة ﺹ زائد ١٥ﺱ أس أربعة ﺹ تربيع زائد ٢٠ﺱ تكعيب ﺹ تكعيب زائد ١٥ﺱ تربيع ﺹ أس أربعة زائد ستة ﺱﺹ أس خمسة زائد ﺹ أس ستة. إذن، هذه إجابة الجزء الأول من المسألة. وسأحذف الآن بعض هذه الخطوات لإفساح المجال للجزء الثاني.
يرغب ماجد الآن في حساب معاملات كل حد من مفكوك: اثنان ﺱ زائد ﺹ أس أربعة. بالتعويض باثنين ﺱ في المفكوك الموجود بالشكل، أو باستخدام طريقة أخرى، احسب جميع معاملات المفكوك.
ما لدينا هنا مأخوذ من مثلث باسكال. وهو الصف الخامس الذي يوضح لنا المعاملات في مفكوك ﺱ زائد ﺹ أس أربعة. لكننا نريد أن نعرف مفكوك: اثنان ﺱ زائد ﺹ أس أربعة. تشير المسألة إلى أن إحدى طرق الحل هي التعويض بـ اثنين ﺱ في المفكوك الموجود بالشكل. إذن، هذه هي طريقة الحل التي سنتبعها. لذا استخدمت مفكوك ﺱ زائد ﺹ أس أربعة. لكنني سأعوض عن كل ﺱ في هذا المفكوك باثنين ﺱ.
من المهم للغاية أن تلاحظ أن العدد اثنين وﺱ يعاملان بالطريقة نفسها تمامًا. على سبيل المثال، كلاهما مرفوع لأس أربعة في الحد الأول. الحد الأول سيكون: اثنان أس أربعة مضروبًا في ﺱ أس أربعة، وهو ما يساوي ١٦ﺱ أس أربعة. من الأخطاء الشائعة أن ننسى أن الاثنين مرفوعة أيضًا للقوة أربعة؛ لذا نعتقد أن الحد الأول ينبغي أن يكون: اثنان ﺱ أس أربعة. لكنه ليس كذلك. بل ١٦ﺱ أس أربعة.
وبالطريقة نفسها، يجب أن يكون الحد الثاني أربعة في اثنين تكعيب مضروبًا في ﺱ تكعيب مضروبًا في ﺹ. اثنان تكعيب يساوي ثمانية، وأربعة في ثمانية يساوي ٣٢. إذن، الحد الثاني هو٣٢ﺱ تكعيب ﺹ. الخطأ الشائع هو أن ننسى مجددًا أن العدد اثنين مرفوع أيضًا للقوة ثلاثة، ونعتقد أن الحد الثاني أربعة مضروبًا في اثنين مضروبًا في ﺱ تكعيب في ﺹ، وهو ما يعطينا ثمانية ﺱ تكعيب ﺹ.
وباستكمال المفكوك، علينا أن نتذكر مرة أخرى أن العدد اثنين مربع في الحد الثالث هذه المرة. إذن لدينا ستة في اثنين تربيع مضروبًا في ﺱ تربيع مضروبًا في ﺹ تربيع. تقل احتمالية ارتكابك لخطأ عند إيجاد الحدين الأخيرين؛ لأنك لست بحاجة إلى رفع اثنين لقوة أخرى غير القوة المرفوع إليها كل منهما.
بتبسيط معاملات الحدود الثلاثة الأخيرة، يصبح لدينا ستة مضروبًا في أربعة، وهو ما يساوي ٢٤ﺱ تربيع ﺹ تربيع زائد أربعة مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي ثمانية ﺱﺹ تكعيب، زائد ﺹ أس أربعة.
إذن، المعاملات في المفكوك: اثنان ﺱ زائد ﺹ أس أربعة هي ١٦، و٣٢، و٢٤، وثمانية، وواحد. تذكر أنه لا بد أن تتعامل مع العدد اثنين بالطريقة نفسها التي تتعامل بها مع ﺱ، وترفع العدد إلى نفس القوة المرفوع إليها ﺱ كل مرة.
